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约29770字。

　　数    学
　　B单元  函数与导数                            
　　B1　函数及其表示
　　6．B1[2015•湖北卷] 已知符号函数sgn x＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0.f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)
　　A．sgn[g(x)]＝sgn x
　　B．sgn[g(x)]＝－sgn x
　　C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
　　D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
　　6．B　[解析] 不妨令f(x)＝x＋1，a＝2，则g(x)＝f(x)－f(2x)＝－x，故sgn[g(x)]＝sgn(－x)，排除A；sgn[f(x)]＝sgn(x＋1)≠sgn[g(x)]，又sgn[g(x)]≠－sgn[f(x)]，所以排除C，D.故选B.
　　10．B1[2015•湖北卷] 设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是(　　)
　　A．3  B．4
　　C．5  D．6
　　10．B　[解析] [t]＝1，则1≤t<2，①
　　[t2]＝2，则2≤t2<3，②
　　显然存在t∈[2，3)使得[t]＝1与[t2]＝2同时成立．
　　[t3]＝3，则3≤t3<4，即313≤t<413，③
　　因为212<313<413<312，所以存在313≤t<413使得①②③同时成立．
　　[t4]＝4，则4≤t4<5，则414≤t<514，④
　　同理，可以求得313≤t<514使得①②③④同时成立．
　　[t5]＝5，则5≤t5<6，即 515≤t<615，⑤
　　因为615<313，所以515≤t<615与313≤t<514的交集为空集．
　　所以n的最大值是4.故选B.
　　10．B1、B6[2015•山东卷] 设函数f(x)＝3x－1，x<1，2x，x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)
　　A.23，1  B．[0，1]
　　C.23，＋∞  D．[1，＋∞)
　　10．C　[解析] 当a<1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a－1≥1，∴23≤a<1；
　　当a≥1时，f(a)＝2a≥2，此时f(f(a))＝2f(a)．
　　综上所述，a≥23.
　　7．B1[2015•浙江卷] 存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有(　　)
　　A．f(sin 2x)＝sin x  B．f(sin 2x)＝x2＋x
　　C．f(x2＋1)＝|x＋1|  D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
　　7．D　[解析] 对选项A中的函数，当x＝0时，得f(0)＝0，当x＝π2时，得f(0)＝1，矛盾；选项B中的函数，当x＝0时，得f(0)＝0，当x＝π2时，得f(0)＝π24＋π2，矛盾；选项C中的函数，当x＝－1时，得f(2)＝0，当x＝1时，得f(2)＝2，矛盾；选项D中的函数变形为f((x＋1)2－1)＝（x＋1）2－1＋1，令t＝(x＋1)2－1可知，f(t)＝t＋1满足要求．
　　10．B1、B3[2015•浙江卷] 已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x<1，则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________．
　　10．0　2 2－3　[解析] f(－3)＝lg 10＝1，
　　f[f(－3)]＝f(1)＝0.当x≥1时，x＋2x－3≥2 2－3，当且仅当x＝2时，等号成立；当x<1时，lg(x2＋1)≥lg 1＝0.故最小值为2 2－3.
　　B2  反函数
　　B3  函数的单调性与最值
　　21．B3、B14[2015•安徽卷] 设函数f(x)＝x2－ax＋b.
　　(1)讨论函数f(sin x)在－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
　　(2)记f0(x)＝x2－a0x＋b0，求函数|f(sin x)－f0(sin x)|在－π2，π2上的最大值D；
　　(3)在(2)中，取a0＝b0＝0，求z＝b－a24满足条件D≤1时的最大值．
　　21．解：(1)f(sin x)＝sin2x－asin x＋b＝sin x(sin x－a)＋b，－π2<x<π2，
　　[f(sin x)]′＝(2sin x－a)cos x，－π2<x<π2.
　　因为－π2<x<π2，所以cos x>0，－2<2sin x<2.
　　①当a≤－2，b∈R时，函数f(sin x)单调递增，无极值．
　　②当a≥2，b∈R时，函数f(sin x)单调递减，无极值．
　　③对于－2<a<2， 在－π2，π2内存在唯一的x0，使得2sin x0＝a.
　　当－π2<x≤x0时，函数f(sin x)单调递减；
　　当x0≤x<π2时，函数f(sin x)单调递增．
　　因此，当－2<a<2，b∈R时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)＝fa2＝b－a24.
　　(2)当－π2≤x≤π2时，|f(sin x)－f0(sin x)|＝|(a0－a)sin x＋b－b0|≤|a－a0|＋|b－b0|，
　　当(a0－a)(b－b0)≥0时，取x＝π2，等号成立，
　　当(a0－a)(b－b0)<0时，取x＝－π2，等号成立．
　　由此可知，|f(sin x)－f0(sin x)|在－π2，π2上的最大值D＝|a－a0|＋|b－b0|.
　　(3)D≤1即为|a|＋|b|≤1，此时0≤a2≤1，－1≤b≤1，从而得z＝b－a24≤1.
　　取a＝0，b＝1，则|a|＋|b|≤1，并且z＝b－a24＝1，
　　由此可知，z＝b－a24满足条件D≤1的最大值为1.
　　22．B3、M3、E7[2015•湖北卷] 已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n1＋1nnan(n∈N＋)，e为自然对数的底数．
　　(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较1＋1nn与e的大小；
　　(2)计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2…bna1a2…an的公式，并给出证明；
　　(3)令cn＝(a1a2…an)1n，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn<eSn.
　　22．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
　　当f′(x)>0，即x<0时，f(x)单调递增；
　　当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减．
　　故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
　　当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即1＋x<ex.
　　令x＝1n，得1＋1n<e1n，即1＋1nn<e.①
　　(2)b1a1＝1×1＋111＝1＋1＝2；
　　b1b2a1a2＝b1a1•b2a2＝2×2×1＋122＝(2＋1)2＝32；
　　b1b2b3a1a2a3＝b1b2a1a2•b3a3＝32×3×1＋133＝(3＋1)3＝43.
　　由此推测：b1b2…bna1a2…an＝(n＋1)n.②
　　下面用数学归纳法证明②.
　　(i)当n＝1时，左边＝右边＝2，②成立．
　　(ii)假设当n＝k时，②成立，即b1b2…bka1a2…ak＝(k＋1)k.
　　当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)1＋1k＋1k＋1ak＋1，由归纳假设可得
　　b1b2…bkbk＋1a1a2…akak＋1＝b1b2…bka1a2…ak•bk＋1ak＋1＝(k＋1)k(k＋1)•1＋1k＋1k＋1＝(k＋2)k＋1.
　　所以当n＝k＋1时，②也成立．
　　根据(i)(ii)，可知②对一切正整数n都成立．
　　(3)证明：由cn的定义，②，算术­几何平均不等式，bn的定义及①得
　　Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
　　＝(a1)11＋(a1a2)12＋(a1a2a3)13＋…＋(a1a2…an)1n
　　＝（b1）112＋（b1b2）123＋（b1b2b3）134＋…＋（b1b2…bn）1nn＋1≤