《平面向量》专题训练卷（含平面向量的概念及其线性运算等共4份）
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平面向量
第四章 第1节 平面向量的概念及其线性运算.DOC
第四章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示.DOC
第四章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例.DOC
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 质量检测.DOC
第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算
题组一 向量的基本概念
1.给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若 ＝ ，则四边形ABCD为平行四边形；
④在▱ABCD中，一定有 ＝ ；
⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c，
其中不正确的个数是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的是③④⑤.
答案：B
2．下列四个命题，其中正确的个数有 ( )
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na
③若ma＝mb(m∈R)，则有a＝b
④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则有m＝n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：只有③不正确，∵a≠b，m＝0时，ma＝mb也成立，其余①②④均成立．
答案：C
题组二 向量的线性运算
3.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：① ＋ ＝ ＋ ；② ＋ ＝ ＋ ；③ － ＝ ＋ .其中正确的有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①式的等价式是 － ＝ － ，左边＝ ＋ ，右边＝ ＋ ，不一定相等；
②式的等价式是 － ＝ － ， ＋ ＝ ＋ ＝ 成立；
③式的等价式是－ ＝ ＋ ， ＝ 成立．
答案：C
4．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量 ＝ ( )
A．－ ＋12 B．－ －12
C． －12 D. ＋12
解析： ＝ ＋ ＝－ ＋12 .
答案：A
5．(2009•安徽高考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若 ＝λ ＋μ ，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：如图，∵ABCD为▱，且E、F分别为CD、BC中点．
∴ ＝ ＋
＝( － )＋( － )
＝( ＋ )－12( ＋ )
＝( ＋ )－12 ，
∴ ＝23( ＋ )，
第四节 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
题组一 平面向量的数量积及向量的模
1.(2010•四平模拟)设a、b、c是单位向量，且a•b＝0，则(a－c)•(b－c)的最小值为 ( )
A．－2 B.2－2 C．－1 D．1－2
解析：(a－c)•(b－c)＝a•b－c•(a＋b)＋c2
＝0－|c|•|a＋b|•cos〈c，(a＋b)〉＋1
≥0－| c ||a＋b|＋1＝－ ＋1
＝－ ＋1＝－ ＋1
＝－2＋1.
答案：D
2．(2009•广东高考)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的
大小为 ( )
A．27 B．25 C．2 D．6
解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．
＝ ＋ ＋2F1F2＝ ＋ ＋2|F1||F2|cos60°＝28.
∴|F3|＝27.
答案：A
3．(2009•福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b•c|的值一定等于 ( )
A．以a，b为两边的三角形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
解析：设〈a，b〉＝θ，θ∈(0，π)，
∵〈a，c〉＝π2，∴〈b，c〉＝3π2－θ，
以a，b为邻边的平行四边形面积为
|a||b|sinθ，而|b•c|＝
＝|b||c|sinθ，
又|a|＝|c|，∴|b•c|＝|a||b|sinθ.
答案：C
题组二 两向量的夹角问题
4.(2009•全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
解析：(a＋b)2＝c2，a•b＝－c22，cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝－12，〈a，b〉＝120°.
答案：B
5．在△ABC中， • ＝3，△ABC的面积S∈[32，32]，则 与 夹角的取值范围是 ( )
A．[π4，π3] B．[π6，π4] C．[π6，π3] D．[π3，π2]
解析：设〈 • 〉＝θ，由 • ＝| || |cosθ＝3，得| || |＝3cosθ，
∴S＝12| || |sinθ＝12×3cosθ×sinθ＝32tanθ.
由32≤32tanθ≤32，得33≤tanθ≤1，
∴π6≤θ≤π4.
答案：B
6．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由已知， ＝|e1|2＝4， ＝|e2|2＝1，
e1•e2＝2×1×cos60°＝1.
∴(2te1＋7e2)•(e1＋te2)＝2t ＋(2t2＋7)e1•e2＋7t
＝2t2＋15t＋7.
由2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－12.
由2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，得2t＝λ7＝tλ，
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