高中数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》学案（25份）
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高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数学案（打包25套）苏教版必修1
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高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.2指数函数3学案苏教版必修1201710163121.doc
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高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数的概念课堂导学案苏教版必修1201710163127.doc
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高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数的运算性质课堂导学案苏教版必修1201710163129.doc
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高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.3对数函数的概念及基本性质课堂导学案苏教版必修1201710163133.doc
高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.4对数函数的图象与性质的应用课堂导学案苏教版必修1201710163134.doc
高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数互动课堂学案苏教版必修1201710163135.doc
高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数习题课学案苏教版必修1201710163136.doc
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高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数课堂导学案苏教版必修1201710163138.doc
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3.1 指数函数
课堂导学
三点剖析
一、指数函数的图象和性质
【例1】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：
①y=2x；②y=5x；③y=( )x；④y=( )x.
(1)观察四个函数的图象,看它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗?
(2)由y=5x的图象，怎样画出y=5x+3的图象？怎样画出y=5x+3的图象？
解析:指数函数y=ax(a＞0且a≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过(0,1),又分别经过(1,2)(1,5)(1, )(1, ).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如右图).
(1)根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y轴对称.
规律：①一般地，指数函数y=ax(a>0且a≠1)与y=a-x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称.
②y=ax(a>0且a≠1)中，当底a>1时，在y轴右侧，底越大图象越靠近于y轴；在y轴左侧，底越大图象越靠近于x轴.当底0<a<1时，在y轴左侧，底越小图象越靠近于y轴；在y轴右侧，底越小图象越靠近于x轴.
(2)把y=5x的图象向左平移3个单位可得y=5x+3的图象，把y=5x的图象向上平移3个单位可得y=5x+3的图象.
温馨提示
(1)记住例1中(1)的结论，在同一坐标系中画指数函数的简图或比较幂的大小时，可直接应用.
(2)函数图象的平移规律：
y=f(x) y=f(x+a);
y=f(x) y=f(x)+h.
二、底数a>1和0<a<1的不同性质及应用
【例2】 比较下列各题中两个数的大小.
（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1.
解析:（1）考查指数函数y=1.7x，由于底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x在（-∞，+∞）上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.
(2)考查函数y=0.8x,由于0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.
温馨提示
比较两个同底的指数的大小，若底数为字母，应分类讨论(底数大于1，大于0
3．2 对数函数
3．2．1 对数
第1课时 对数的概念
1．理解对数的概念．
2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．
3．掌握常用对数与自然对数的定义．
4．了解对数恒等式．
1．对数的概念
一般地，如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记为logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
指数式和对数式的关系：如图所示．
对数式logaN可看作一个记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
【做一做1－1】将对数式log232＝5化成指数式为__________．
答案：25＝32
【做一做1－2】方程3x＝4的解为__________．
答案：x＝log34
2．对数的性质
(1)0和负数没有对数；
(2)1的对数是0，即loga1＝0；
(3)底数的对数等于1，即logaa＝1；
(4) ＝N；
(5)logaam＝m.
【做一做2】log216＋logaa2＋logb1＝________.
答案：6
3．常用的两种对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N简记为lg_N，如log102记为lg 2，log105记为lg 5等．
(2)在科学技术中，常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底数的对数称为自然对数．正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N，如loge2记为ln 2，loge5记为ln 5等．
【做一做3】计算lg 10＝________，ln e＝________.
答案：1 1
对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a＞0，a≠1，N＞0呢？
剖析：从对数的概念不难发现无论是指数式ab＝N，还是对数式logaN＝b都反映的是a，b，N三数之间的关系．
在对数符号logaN中，若a＜0，则N为某些值时，logaN不存在，如log(－2)8不存在．
若a＝0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不惟一．
若a＝1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不惟一
3.2 对数函数
互动课堂
疏导引导
2.3.1 对数
1.对数的定义：一般地，当a>0且a≠1时，若ab=N，则b叫以a为底N的对数,记作logaN=b，其中a叫对数的底数，N叫真数.
2.对数式与指数式的互化：ab=NlogaN=b(a>0，a≠1).
3.三条对数性质：logaa=1；loga1=0；零和负数没有对数(即真数必须大于零).对数恒等式：alogaN=N(a>0,a≠1,N>0).
4.常用对数：以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lgN.
自然对数：以e为底的对数称为自然对数，logeN记为lnN,其中e=2.718 28….
●案例1对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？
【探究】对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)loga1=0(1的对数是0)；(2)logaa=1(底数的对数是1);(3)alogaN=N(对数恒等式)；(4)logaN= (b＞0且b≠1)(换底公式)；(5)logaM+logaN=logaMN；(6)logaM-logaN= ；(7)nlogaN=logaNn；(8) logaN=logamNn.以上各式均有条件a＞0且a≠1.
【溯源】这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记：
积的对数变为加，商的对数变为减，
幂的乘方取对数，要把指数提到前.
●案例2试计算lg4+lg5lg20+lg25的值.
【探究】利用lg2与lg5之间的特殊关系lg2+lg5=lg10=1，或利用lg5与lg20的关系lg20+lg5=lg100=2求解.
【答案】】原式=lg4+lg5(lg20+lg5)=lg4+lg5lg100=lg4+2lg5=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.
【溯源】求几个对数式的加减运算，若每个对数式是同底的，可以利用同底数的对数运算法则化为一个对数式；也可反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数运算法则化为同底对数的和与差，然后进行合并约简.
3．3 幂函数
1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x， 的图象．
2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．
3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．
1．幂函数
一般地，我们把形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数．
幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合，因α的不同，定义域也不同，如函数y＝x2的定义域为R，而函数y＝1x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为1，指数位置的α为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可．
【做一做1】下列函数是幂函数的有________．
①y＝x2
②y＝1x
③y＝x3＋x
④y＝2x
⑤y＝x－3
答案：①②⑤
2．幂函数的图象与性质
函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1， ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．
从图中可以观察得到它们的特征如下：
【做一做2－1】 ， ， 的大小关系是__________．
答案：a＜b＜c
【做一做2－2】函数 的奇偶性是__________，单调性是__________．
答案：奇函数 在R上单调递增
【做一做2－3】函数y＝x－2的值域为__________．
答案：(0，＋∞)
当n取不同的有理数时，幂函数y＝xn的图象及性质．
剖析：我们只研究n是有理数的情况，规定n＝pq是既约分数：
(1)如下表所示：
y＝xn 奇函数(p奇q奇) 偶函数(p偶q奇) 非奇非偶函数(q偶)
n＞1
0＜n＜1
n＜0
(2)当n∈N*时，定义域为R；
当n＝0时，定义域为{x|x≠0}；
当n为负整数时，定义域为{x|x≠0}；
当n＝pq(p，q∈N*，q＞1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为[0，＋∞)，②若q为奇数，则定义域为R，
当n＝－pq(p，q∈N*，q＞1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为(0，＋∞)，②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}．
(3)①在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
②当n＞0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y＝1；当n＜0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数．
③在直线x＝1的右侧，指数n越大图象位置越高．
题型一 幂函数的性质
【例1】当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，求实数m的值．
分析：幂函数的一般形式为y＝xα，说明其系数为1，由此确定m值．
解：由条件得m2－m－1＝1，－5m－3<0，解得m＝2.
反思：对于幂函数y＝xα来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件．本题函数在(0，＋∞)上为减函数，说明指数小于0.
【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列．
分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数．
解：因为函数y＝1.2x在R上单调递增，
所以1.20.6＞1.20.5＞1.20＝1.
因为函数y＝x1.2在(0，＋∞)上单调递增，
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