2018年高三数学(北师大版文科)一轮复习讲义:集合与常用逻辑用语

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约21270字。

  第1讲 集 合
  最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
  知 识 梳 理
  1.元素与集合
  (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
  (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
  (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
  2.集合间的基本关系
  表示
  关系 文字语言 符号语言
  集合间的基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A=B
  子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B
  真子集 A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素 A B
  空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
  3.集合的基本运算
  集合的并集 集合的交集 集合的补集
  符号表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补集为∁UA
  图形表示
  集合表示 {x|x∈A,或x∈B} {x|x∈A,且x∈B} {x|x∈U,且x∉A}
  4.集合关系与运算的常用结论
  (1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
  (2)子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
  (3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
  (4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
  诊 断 自 测
  1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)  精彩PPT展示
  (1)任何集合都有两个子集.(  )
  (2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.(  )
  (3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(  )
  (4)若A∩B=A∩C,则B=C.(  )
  解析 (1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
  (2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
  (3)错误.当x=1,不满足互异性.
  (4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
  答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
  2.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下列结论正确的是(  )                   
  A.{a}⊆A  B.a⊆A  C.{a}∈A  D.a∉A
  解析 由题意知A={0,1,2,3},由a=22,知a∉ A.
  答案 D
  3.(2016•全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=(  )
  A.{1,3}  B.{3,5}  C.{5,7}  D.{1,7}
  解析 因为A={1,3,5,7},而3,5∈A且3,5∈B,所以A∩B={3,5}.
  答案 B
  4.(2017•西安模拟)设全集U={x|x∈N+,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于(  )
  A.{1,4}  B.{1,5}  C.{2,5}  D.{2,4}
  解析 由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4}.
  答案 D
  5.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
  解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
  答案 2
  考点一 集合的基本概念                   
  【例1】 (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(  )
  A.1  B.3  C.5  D.9
  (2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=(  )
  A.92  B.98  C.0  D.0或98
  解析 (1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
  当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
  当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
  根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
  (2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等

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