高中数学必修1基本初等函数常考题型
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对数
【知识梳理】
1．对数的概念
(1)定义：
如果 ( ，且 )，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 .其中， 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常用对数与自然对数：
通常将以 为底的对数叫做常用对数，并把 记作 ；以无理数 为底数的对数称为自然对数，并且把 记为 .
2．对数与指数的关系
当 ，且 时， .前者叫指数式，后者叫对数式．
3．对数的性质
性质1 负数和零没有对数
性质2 1的对数是0，即 ＝0( ，且 )
性质3 底数的对数是1，即 ＝1( ，且 )
【常考题型】
题型一、对数的概念
【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) ；(5) .
[解] (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .
【类题通法】
指数式与对数式互化的方法
将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；而将对数式化为指数式，则反其道而行之．指数式与对数式的互化是一个重要内容，应熟练掌握．
【对点训练】
方程的根与函数的零点
【知识梳理】
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
【常考题型】
题型一、求函数的零点
【例1】 (1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－ x.
[解] (1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝ 3.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝ 3.
(4)令1－ x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－ x的零点是x＝3.
【类题通法】
函数零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
【对点训练】
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝ ；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝ (x＋1)．
解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.
用二分法求方程的近似解
【知识梳理】
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)•f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)•f(b)<0，给定精确度ε.
第二步，求区间(a，b)的中点c.
第三步，计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)•f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)•f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．
【常考题型】
题型一、二分法的概念
【例1】 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝ x D．y＝ －x
(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
指数幂及运算
【知识梳理】
1．分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
( ， ， ，且 )．
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
＝ ＝ ( ， ， ，且 )．
(3) 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂无意义．
2．有理数指数幂的运算性质
(1) ( ， ， )；
(2) ( ， ， )；
(3) ( ， ， )．
【常考题型】
题型一、根式与分数指数幂的互化
【例1】 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A． ( ) B. ( )
C． ( ) D． ( )
(2)用分数指数幂的形式表示下列各式．
① ( )；
② ( )；
③ ( )；
④ ( ， )．
(1)[解析] ( )；
( )；
( )；
( )．
[答案] C
(2)[解] ① .
② .
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