2015年高考真题与模拟题分类汇编数学(文):H单元《解析几何》

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约23780字。

  数    学
  H单元 解析几何                                                                      
  H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
  20.H1、H5、H7、H8[2015•湖南卷] 已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC→与BD→同向.
  (1)求C2的方程;
  (2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
  20.解:(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①
  C1与C2的公共弦的长为26,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,
  由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6,32,所以94a2+6b2=1.②
  联立①②得a2=9,b2=8.
  故C2的方程为y29+x28=1.
  (2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
  因为AC→与BD→同向,且|AC|=|BD|,所以AC→=BD→,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③
  设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.
  由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④
  由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以
  x3+x4=-16k9+8k2,x3x4=-649+8k2.⑤
  将④⑤代入③,得16(k2+1)=162k2(9+8k2)2+4×649+8k2,即16(k2+1)=162×9(k2+1)(9+8k2)2,
  所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±64,即直线l的斜率为±64.
  19.H1、H5、H8[2015•天津卷] 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.
  (1)求直线BF的斜率.
  (2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.
  (i)求λ的值;
  (ii)若|PM|sin∠BQP=759,求椭圆的方程.
  19.解:(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c.
  又因为B(0,b),F(-c,0),所以直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.
  (2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).
  (i)由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.
  因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.
  又因为λ=|PM||MQ|,且xM=0,可得λ=|xM-xP||xQ-xM|=|xP||xQ|=78.
  (ii)由(i)知|PM||MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=715,即|PQ|=157|PM|.又因为|PM|sin∠BQP=759,所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=157|PM|sin∠BQP=553.又因为yP=2xP+2c=-43c,所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,因此553c=553,得c=1,
  所以椭圆的方程为x25+y24=1.
  12.H1、H4[2015•重庆卷] 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为________.
  12.x+2y-5=0 [解析] 由题意,得kOP=2-01-0=2,则该圆在点P处的切线的斜率为-12,所以所求切线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.
  20.H1、H3、H4[2015•全国卷Ⅰ] 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
  (1)求k的取值范围;
  (2)OM→•ON→=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
  20.解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
  因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1,解得4-73<k<4+73,
  所以k的取值范围为4-73,4+73.
  (2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
  将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
  所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2,
  OM→•ON→=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.
  由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以直线l的方程为y=x+1.
  故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.
  H2 两直线的位置关系与点到直线的距离
  H3 圆的方程
  20.H3,H4,H9[2015•广东卷] 已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
  (1)求圆C1的圆心坐标;
  (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
  (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
  16.H3、H4[2015•湖北卷] 如图1­3,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
  图1­3
  (1)圆C的标准方程为________;
  (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
  16.(1)(x-1)2+(y-2)2=2 (2)-2-1
  [解析] (1)由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=AB22+12=2,解得r=2,所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.
  (2)对于圆C的方程,令x=0,得y=2±1,所以点B(0,2+1).又点C(1,2),所以直线BC的斜率kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(2+1)=x-0,即y=x+(2+1).令y=0,得切线在x轴上的截距为-2-1.
  20.H1、H3、H4[2015•全国卷Ⅰ] 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
  (1)求k的取值范围;
  (2)OM→•ON→=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
  20.解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
  因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1,解得4-73<k<4+73,
  所以k的取值范围为4-73,4+73.
  (2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
  将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
  所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2,
  OM→•ON→=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.

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