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约23780字。

　　数    学
　　H单元　解析几何                                                                      
　　H1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
　　20．H1、H5、H7、H8[2015•湖南卷] 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC→与BD→同向．
　　(1)求C2的方程；
　　(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
　　20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
　　C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
　　由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，32，所以94a2＋6b2＝1.②
　　联立①②得a2＝9，b2＝8.
　　故C2的方程为y29＋x28＝1.
　　(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
　　因为AC→与BD→同向，且|AC|＝|BD|，所以AC→＝BD→，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
　　设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
　　由y＝kx＋1，x2＝4y得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
　　由y＝kx＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，而x3，x4是这个方程的两根，所以
　　x3＋x4＝－16k9＋8k2，x3x4＝－649＋8k2.⑤
　　将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2（9＋8k2）2＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162×9（k2＋1）（9＋8k2）2，
　　所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.
　　19．H1、H5、H8[2015•天津卷] 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为55.
　　(1)求直线BF的斜率．
　　(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
　　(i)求λ的值；
　　(ii)若|PM|sin∠BQP＝759，求椭圆的方程．
　　19．解：(1)设F(－c，0)．由已知离心率ca＝55及a2＝b2＋c2，可得a＝5c，b＝2c.
　　又因为B(0，b)，F(－c，0)，所以直线BF的斜率k＝b－00－（－c）＝2cc＝2.
　　(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
　　(i)由(1)可得椭圆的方程为x25c2＋y24c2＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－5c3.
　　因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－12x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝40c21.
　　又因为λ＝|PM||MQ|，且xM＝0，可得λ＝|xM－xP||xQ－xM|＝|xP||xQ|＝78.
　　(ii)由(i)知|PM||MQ|＝78，所以|PM||PM|＋|MQ|＝77＋8＝715，即|PQ|＝157|PM|.又因为|PM|sin∠BQP＝759，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝157|PM|sin∠BQP＝553.又因为yP＝2xP＋2c＝－43c，所以|BP|＝0＋5c32＋2c＋4c32＝553c，因此553c＝553，得c＝1，
　　所以椭圆的方程为x25＋y24＝1.
　　12．H1、H4[2015•重庆卷] 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
　　12．x＋2y－5＝0　[解析] 由题意，得kOP＝2－01－0＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.
　　20．H1、H3、H4[2015•全国卷Ⅰ] 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
　　(1)求k的取值范围；
　　(2)OM→•ON→＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
　　20．解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
　　因为l与C交于两点，所以|2k－3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k<4＋73，
　　所以k的取值范围为4－73，4＋73.
　　(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
　　将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
　　所以x1＋x2＝4（1＋k）1＋k2，x1x2＝71＋k2，
　　OM→•ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k（1＋k）1＋k2＋8.
　　由题设可得4k（1＋k）1＋k2＋8＝12，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.
　　故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
　　H2　两直线的位置关系与点到直线的距离
　　H3　圆的方程
　　20．H3，H4，H9[2015•广东卷] 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
　　(1)求圆C1的圆心坐标；
　　(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
　　(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
　　16．H3、H4[2015•湖北卷] 如图1­3，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
　　图1­3
　　(1)圆C的标准方程为________；
　　(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．
　　16．(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2　(2)－2－1
　　[解析] (1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝AB22＋12＝2，解得r＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
　　(2)对于圆C的方程，令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0，2＋1)．又点C(1，2)，所以直线BC的斜率kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(2＋1)＝x－0，即y＝x＋(2＋1)．令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.
　　20．H1、H3、H4[2015•全国卷Ⅰ] 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
　　(1)求k的取值范围；
　　(2)OM→•ON→＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
　　20．解：(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
　　因为l与C交于两点，所以|2k－3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k<4＋73，
　　所以k的取值范围为4－73，4＋73.
　　(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
　　将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
　　所以x1＋x2＝4（1＋k）1＋k2，x1x2＝71＋k2，
　　OM→•ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k（1＋k）1＋k2＋8.