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　　数    学
　　H单元　解析几何                                                                      
　　H1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
　　20．F1、H1、H5、H7、H8[2015•湖南卷] 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26.
　　(1)求C2的方程．
　　(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC→与BD→同向．
　　(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
　　(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
　　20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
　　a2－b2＝1.①
　　又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
　　由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，32，所以94a2＋6b2＝1.②
　　联立①②，得a2＝9，b2＝8，
　　故C2的方程为y29＋x28＝1.
　　(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
　　(i)因为AC→与BD→同向，且|AC|＝|BD|，所以AC→＝BD→，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
　　设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
　　由y＝kx＋1，x2＝4y得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
　　由y＝kx＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
　　而x3，x4是这个方程的两根，所以
　　x3＋x4＝－16k9＋8k2，x3x4＝－649＋8k2.⑤
　　将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2（9＋8k2）2＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162×9（k2＋1）（9＋8k2）2，
　　所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.
　　(ii)证明：由x2＝4y得y′＝x2，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝x12(x－x1)，即y＝x1x2－x214.
　　令y＝0，得x＝x12，即Mx12，0，所以FM→＝x12，－1.而FA→＝(x1，y1－1)，于是FA→•FM→＝x212－y1＋1＝x214＋1>0，
　　因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．
　　故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
　　19．H1、H5、H8[2015•天津卷] 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.
　　(1)求直线FM的斜率；
　　(2)求椭圆的方程；
　　(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
　　19．解：(1)由已知有c2a2＝13，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
　　设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有kck2＋12＋c22＝b22，解得k＝33.
　　(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1，直线FM的方程为y＝33(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－53c或x＝c.因为点M在第一象限，所以M的坐标为c，233c.由|FM|＝（c＋c）2＋233c－02＝433，解得c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.
　　(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，则t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立y＝t（x＋1），x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝6－2x23（x＋1）2>2，解得－32<x<－1或－1<x<0.
　　设直线OP的斜率为m，则m＝yx，即y＝mx(x≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m2＝2x2－23.
　　①当x∈－32，－1时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝2x2－23，得m∈23，233.
　　②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－2x2－23，得m∈－∞，－233.
　　综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.
　　H2　两直线的位置关系与点到直线的距离
　　15．B12、H2[2015•陕西卷] 设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
　　15．(1，1)　[解析] 对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线斜率为－1，由y′＝－1x2＝－1，得x＝1，则y＝1，所以P的坐标为(1，1)．
　　H3　圆的方程
　　14．H3、H4[2015•湖北卷] 如图1­3，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
　　图1­3
　　(1)圆C的标准方程为________；
　　(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：
　　①|NA||NB|＝|MA||MB|；②|NB||NA|－|MA||MB|＝2；③|NB||NA|＋|MA||MB|＝22.
　　其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
　　14．(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2　(2)①②③
　　[解析] (1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝AB22＋12＝2，解得r＝2.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
　　(2)由(1)知，A(0，2－1)，B(0，2＋1)．
　　设M(a，b)，则|MA||MB|＝a2＋[b－（2－1）]2a2＋[b－（2＋1）]2＝1－b2＋[b－（2－1）]21－b2＋[b－（2＋1）]2