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约15830字。

　　数    学
　　G单元  立体几何
　　G1  空间几何体的结构
　　19．G1[2015•全国卷Ⅱ] 如图1­8，长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
　　(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
　　(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
　　图1­8
　　19．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图．
　　(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
　　因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
　　于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6.
　　因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为9779也正确．
　　18．G1，G4，G5[2015•北京卷] 如图1­5，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．
　　(1)求证：VB∥平面MOC；
　　(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
　　(3)求三棱锥V­ABC的体积．
　　图1­5
　　18．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，
　　所以OM∥VB.
　　又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
　　所以VB∥平面MOC.
　　(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，
　　所以OC⊥AB.
　　又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，
　　所以OC⊥平面VAB.
　　又因为OC⊂平面MOC，
　　所以平面MOC⊥平面VAB.
　　(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，
　　所以AB＝2，OC＝1.
　　所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝3.
　　又因为OC⊥平面VAB，
　　所以三棱锥C­VAB的体积等于
　　13OC•S△VAB＝33.
　　又因为三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，
　　所以三棱锥V­ABC的体积为33.
　　18．G1、G5[2015•湖南卷] 如图1­4，直三棱柱ABC ­ A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
　　(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
　　(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F ­ AEC的体积．
　　图1­4
　　18．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC ­ A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.
　　又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.
　　因此AE⊥平面B1BCC1.而AE⊂平面AEF，
　　所以平面AEF⊥平面B1BCC1.
　　(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.
　　因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.
　　又三棱柱ABC ­ A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.
　　因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
　　由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝32AB＝3.
　　在Rt△AA1D中，AA1＝A1D2－AD2＝3－1＝2，所以FC＝12AA1＝22.
　　故三棱锥F ­ AEC的体积
　　V＝13S△AEC•FC＝13×32×22＝612.
　　9．G1[2015•山东卷] 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
　　A.22π3  B.42π3
　　C．22π  D．42π
　　9．B　[解析] 由条件知该直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，故围成的几何体的体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.
　　18．G1，G4，G5[2015•四川卷] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1­2所示．
　　(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
　　(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；
　　(3)证明：直线DF⊥平面BEG.
　　图1­2
　　18．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．
　　(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：
　　因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，
　　又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
　　于是BCHE为平行四边形，
　　所以BE∥CH.
　　又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
　　所以BE∥平面ACH.
　　同理BG∥平面ACH.
　　又BE∩BG＝B，
　　所以平面BEG∥平面ACH.
　　(3)证明：连接FH.
　　因为ABCD­EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.
　　因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，
　　又EG⊥FH，EG∩FH＝O，
　　所以EG⊥平面BFHD.
　　又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.
　　同理DF⊥BG.
　　又EG∩BG＝G，
　　所以DF⊥平面BEG.
　　10．G1、G2[2015•天津卷] 一个几何体的三视图如图1­3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
　　图1­3
　　10.83π　[解析] 根据三视图可知，该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V＝π×12×2＋2×13×π×12×1＝83π(m3)．
　　G2  空间几何体的三视图和直观图
　　9．G2[2015•安徽卷] 一个四面体的三视图如图1­2所示，则该四面体的表面积是(　　)