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　　数    学
　　D单元　数列                                                                               
　　D1  数列的概念与简单表示法
　　D2  等差数列及等差数列前n项和
　　13．D2[2015•安徽卷] 已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
　　13．27　[解析] 由an＝an－1＋12(n≥2)得，数列{an}是以1为首项，以12为公差的等差数列，因此S9＝9×1＋9×82×12＝27.
　　19．D2，D3[2015•广东卷] 设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
　　(1)求a4的值；
　　(2)证明：an＋1－12an为等比数列；
　　(3)求数列{an}的通项公式．
　　19．D2、D3、D4、D5[2015•湖北卷] 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
　　(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
　　(2)当d>1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
　　19．解：(1)由题意有，
　　10a1＋45d＝100，a1d＝2，即2a1＋9d＝20，a1d＝2，
　　解得a1＝1，d＝2或a1＝9，d＝29.
　　故an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝19（2n＋79），bn＝9•29n－1.
　　(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，　①
　　12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n.　②
　　①－②可得
　　12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，
　　故Tn＝6－2n＋32n－1.
　　7．D2[2015•全国卷Ⅰ] 已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(　　)
　　A.172  B.192
　　C．10  D．12
　　7．B　[解析] 由S8＝4S4，得8a1＋8×72×1＝44a1＋4×32×1，解得a1＝12，所以a10＝12＋(10－1)×1＝192.
　　5．D2[2015•全国卷Ⅱ] 设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
　　A．5  B．7
　　C．9  D．11
　　5．A　[解析] 因为{an}为等差数列，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝3，所以a3＝1，于是S5＝5（a1＋a5）2＝5a3＝5.
　　16．D2，D3[2015•北京卷] 已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
　　(1)求{an}的通项公式．
　　(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的第几项相等？
　　16．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
　　因为a4－a3＝2，所以d＝2.
　　又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.
　　所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1，2，…)．
　　(2)设等比数列{bn}的公比为q.
　　因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，
　　所以q＝2，b1＝4.
　　所以b6＝4×26－1＝128.
　　由128＝2n＋2得n＝63.
　　所以b6与数列{an}的第63项相等．
　　19．D2、D4[2015•山东卷] 已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列1an•an＋1的前n项和为n2n＋1.
　　(1)求数列{an}的通项公式；
　　(2)设bn＝(an＋1)•2an，求数列{bn}的前n项和 Tn.
　　19．解：(1)设数列{an}的公差为d.
　　令n＝1，得1a1a2＝13，
　　所以a1a2＝3.
　　令n＝2，得1a1a2＋1a2a3＝25，
　　所以a2a3＝15.
　　解得a1＝1，d＝2，
　　所以an＝2n－1.
　　(2)由(1)知bn＝2n•22n－1＝n•4n，
　　所以Tn＝1×41＋2×42＋…＋n•4n，
　　所以4Tn＝1×42＋2×43＋…＋n•4n＋1，
　　两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n•4n＋1
　　＝4（1－4n）1－4－n•4n＋1
　　＝1－3n3×4n＋1－43，
　　所以Tn＝3n－19×4n＋1＋49＝4＋（3n－1）4n＋19.
　　13．D2[2015•陕西卷] 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．
　　13．5　[解析] 设首项为a1，则a1＋2015＝2×1010，解得a1＝5.
　　16．D2，D3，D4[2015•四川卷] 设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1， a3成等差数列．
　　(1)求数列{an}的通项公式；
　　(2)设数列1an的前n项和为Tn，求Tn.
　　16．解：(1)由已知Sn＝2an－a1，有
　　an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
　　即an＝2an－1(n≥2)．
　　从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.
　　又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，
　　所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，
　　所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
　　故an＝2n.
　　(2)由(1)得1an＝12n，
　　所以Tn＝12＋122＋…＋12n＝121－12n1－12＝1－12n.
　　10．D2[2015•浙江卷] 已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
　　10.23　－1　[解析] 由题意得，a23＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，所以d(3a1＋2d)＝0.因为d≠0，所以3a1＋2d＝0，又2a1＋a2＝1，所以3a1＋d＝1，联立3a1＋2d＝0，3a1＋d＝1，解得a1＝23，d＝－1.
　　17．D2，D3，D4[2015•浙江卷] 已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋12b2＋13b3＋…＋1nbn＝bn＋1－1(n∈N*)．