2016届高三（新课标版）数学（理）二轮专题复习（讲解+练习）：第4部分数列与不等式（共2份）
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2016届高三（新课标版）数学（理）二轮专题复习（讲解+练习）：第4部分 数列与不等式
专题九 数列.doc
专题十 不等式.doc
(2015•课标Ⅰ，17，12分，中)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)∵a2n＋2an＝4Sn＋3，∴a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
两式相减得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)•(an＋1－an)．
由于an>0，可得an＋1－an＝2.
又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以通项公式an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝1anan＋1＝1（2n＋1）（2n＋3）
＝1212n＋1－12n＋3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝1213－15＋15－17＋…
＋12n＋1－12n＋3
＝n3（2n＋3）.
1．(2013•辽宁，4，易)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列ann是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
【答案】 D {an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d>0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a1>2a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；ann＝d＋a1－dn，当a1－d>0时，ann递减，p3不正确；an＋3nd＝4nd＋a1－d，4d>0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，p4是正确的，故选D.
2．(2011•江西，5，易)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝( )
A．1 B．9 C．10 D．55
【答案】 A a10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A.
3．(2013•湖南，15，难)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－12n，n∈N*，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
【解析】 (利用an与Sn的关系求通项公式)
(1)由已知得S3＝－a3－123，S4＝a4－124，两式相减得a4＝a4＋a3－124＋123，∴a3＝124－123＝－116.
(2)已知Sn＝(－1)nan－12n，
①当n为奇数时，Sn＋1＝an＋1－12n＋1，Sn＝－an－12n，
两式相减得an＋1＝an＋1＋an＋12n＋1，
∴an＝－12n＋1；
②当n为偶数时，则Sn＋1＝－an＋1－12n＋1，Sn＝an－12n，
两式相减得an＋1＝－an＋1－an＋12n＋1，
即an＝－2an＋1＋12n＋1＝12n.
综上，an＝－12n＋1（n为奇数），12n（n为偶数），
∴S1＋S2＋…＋S100＝－a1－12＋a2－122＋…＋a100－12100＝[(a2＋a4＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]－12＋122＋…＋12100
＝122＋124＋…＋12100＋122＋124＋…
＋12100－12＋122＋…＋12100
＝122＋124＋…＋12100－12＋123＋…
＋1299
＝1221－122501－14－121－122501－14
＝1312100－1.
【答案】 (1)－116 (2)1312100－1
4．(2012•四川，20，12分，中)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)设a1>0，数列lg10a1an的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．
解：(1)取n＝1，得
a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①
取n＝2，得a22＝2a1＋2a2，②
由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③
若a2＝0，由①知a1＝0.
若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④
由①④解得a1＝2＋1，a2＝2＋2或a1＝1－2，a2＝2－2.
综上可得，a1＝0，a2＝0或a1＝2＋1，a2＝2＋2或a1＝1－2，a2＝2－2.
(2)当a1>0时，由(1)知a1＝2＋1，a2＝2＋2.
当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(2＋2)an－1＝S2＋Sn－1，
所以(1＋2)an＝(2＋2)an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，
所以an＝a1(2)n－1＝(2＋1)•(2)n－1.
令bn＝lg10a1an，则bn＝1－lg(2)n－1＝1－12(n－1)lg 2＝12lg1002n－1.
所以数列{bn}是单调递减的等差数列公差为－12lg 2，
从而b1>b2>…>b7＝lg108>lg 1＝0，
当n≥8时，bn≤b8＝12lg100128<12lg 1＝0，
故当n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7＝7（b1＋b7）2＝7（1＋1－3lg 2）2
＝7－212lg 2.
考向1 由递推公式求通项公式
1．递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫作数列{an}的递推公式．
2．已知递推关系式求通项
一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．
(1)(2013•安徽，14)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
1．(2013•陕西，10，易)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
【答案】 D A不成立，如[－π]＝－4，－[π]＝－3；
B不成立，如x＝1.6时，[2x]＝3，2[x]＝2；C不成立，如x＝y＝1.6，则[x＋y]＝3，[x]＋[y]＝2，由排除法知选D.
思路点拨：本题考查新定义问题，解题的关键是把握取整函数的意义，取特殊值进行判断即可．
2．(2011•浙江，7，易)若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<1b或b>1a”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 当0<ab<1时，若b>0，则有a<1b；若b<0，则a<0，从而有b>1a，故“0<ab<1”是“a<1b或b>1a”的充分条件．反之，取b＝1，a＝－2，则有a<1b或b>1a，但ab<0，故选A.
3．(2011•上海，15，易)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2ab
C.1a＋1b>2ab D.ba＋ab≥2
【答案】 D A项，当a＝b＝1时，满足ab>0，但a2＋b2＝2ab，所以A错误；B，C项，当a＝b＝－1时，满足ab>0，但a＋b<0，1a＋1b<0，而2ab>0，2ab>0，显然B，C错误；D项，当ab>0时，由基本不等式得ba＋ab≥2ba•ab＝2，所以D正确．
4．(2013•上海春季，17，易)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( )
A.1a<1b B．ab<b2
C．－ab<－a2 D．－1a<－1b
【答案】 D 方法一(利用不等式性质求解)：A项，由a<b<0，得b－a>0，ab>0，故1a－1b＝b－aab>0，1a>1b，故A项错误；B项，由a<b<0，得b(a－b)>0，ab>b2，故B项错误；C项，由a<b<0，得a(a－b)>0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；D项，由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－1a－－1b＝a－bab<0，－1a<－1b成立．故D项正确．
方法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则1a＝－12>－1＝1b，ab＝2>1＝b2，－ab＝－2>－4＝－a2，－1a＝12<1＝－1b.故A，B，C项错误，D项正确．
5．(2010•江苏，12，中)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．
【解析】 ∵4≤x2y≤9，∴19≤yx2≤14，
∴181≤y2x4≤116.
又∵3≤xy2≤8，而x3y4＝1y4x3＝1xy2•y2x4，
且127≤xy2•y2x4≤12，
∴2≤x3y4≤27.
【答案】 27
考向 不等式的性质及应用
1．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔b<a.
(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.
(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．
2．不等式的倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.
(2)a＜0＜b⇒1a＜1b.
(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒ac＞bd.
(1)(2014•四川，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.ac>bd B.ac<bd C.ad>bc D.ad<bc
(2)(2014•山东，5)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.1x2＋1>1y2＋1 B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y D．x3>y3
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