山东省青岛市2013届高三阶段性测试数学试卷8（解析版）
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共21道小题，约7440字。
山东省青岛市2013届高三阶段性测试数学试卷8（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(文)(2012•宁夏银川月考、山东聊城一中期末)把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y＝sinx，则( )
A．ω＝2，φ＝π6 B．ω＝2，φ＝－π3
C．ω＝12，φ＝π6 D．ω＝12，φ＝π12
[答案] B
[分析] 函数y＝sin(ωx＋φ)经过上述变换得到函数y＝sinx，把函数y＝sinx的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象．
[解析] 把y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍得到的函数解析式是y＝sin2x，再把这个函数图象向右平移π6个单位，得到的函数图象的解析式是y＝sin2x－π6＝sin2x－π3，与已知函数比较得ω＝2，φ＝－π3.
[点评] 本题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解决问题的灵活性，本题也可以直接进行变换根据比较系数的方法求解，由已知的变换方法，经过两次变换后函数y＝sin(ωx＋φ)被变换成y＝sinωx2＋ωπ6＋φ，比较系数也可以得到问题的答案．
(理)将函数y＝cosx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sinx－π6的图象，则φ等于( )
A.π6 B.2π3
C.4π3 D.11π6
[答案] C
[解析] ∵sinx－π6＝cosπ2－x－π6
＝cos2π3－x＝cosx－2π3，
将y＝cosx的图象向右平移2π3个单位可得到y＝cosx－2π3的图象，∴要得到y＝sinx－π6的图象应将y＝cosx的图象左移φ＝2π－2π3＝4π3个单位．
[点评] 解答三角函数图象变换的题目：①一定要分清是由哪个函数的图象经过怎样的变换得到哪个函数的图象，②要注意函数名称不同时，应先统一名称，统一名称时要利用y＝cosx为偶函数，将正弦化为余弦再变形．③一个三角函数图象平移后与自身重合，给出了该函数的周期特征．请再练习下题：
(2012•西安质检)设ω>0，函数y＝sinωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A.23 B.43
C.32 D．3
[答案] C
[解析] 函数y＝sinωx＋π3的图象向右平移4π3个单位所得的函数解析式为y＝sinωx－4π3＋π3＝sinωx＋π3－4π3ω，又因为函数y＝sinωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，∴4π3ω＝2kπ⇒ω＝32k(k∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为32，故选C.
2．(2012•辽宁沈阳二中阶段检测)若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为( )
A.－π8，0 B.π8，0
C．(0,0) D.－π4，0
[答案] A
[分析] 把函数化为一个角的三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据对称中心是函数图象与x轴的交点进行检验或直接令f(x)＝0求解．
[解析] f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π4，这个函数的最小正周期是2πω，令2πω＝π，解得ω＝2，故函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin2x＋π4，把选项代入检验知点－π8，0为其一个对称中心．
[点评] 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x轴的交点．因此可令ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)，求出横坐标x.
3．(文)(2012•北京西城区期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则角A等于( )
A．150° B．90°
C．60° D．30°
[答案] D
[解析] 根据正弦定理得1sinA＝2sin45°，∴sinA＝12，
∵a<b，∴A为锐角，∴A＝30°，故选D.
(理)(2012•福州期末)黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝6.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( )
A．A＝30°，B＝45° B．c＝1，cosC＝13
C．B＝60°，c＝3 D．C＝75°，A＝45°
[答案] D
[分析] 可将选项的条件逐个代入验证．
[解析] ∵2sin30°≠6sin45°，∴A错；∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝4＋6－146≠13，∴B错；∵a2＋c2－b22ac＝4＋9－612＝712≠cos60°，∴C错，故选D.
4．(2012•杭州模拟)平面上A、B、C三点满足(BC→•CA→)(CA→•AB→)(AB→•BC→)＝123，则这三点( )
A．组成锐角三角形 B．组成直角三角形
C．组成钝角三角形 D．在同一条直线上
[答案] A
[解析] 如果组成直角三角形，则向量之积中必有一个为0，显然不符合题意；如果在同一条直线上，则三组数量积中的两个向量，方向有的相同，有的相反，故数量积的值必有正有负其比值不可能为123；如果组成钝角三角形，可知这三个向量所成的角(三角形的外角)中必有一个是锐角，两个是钝角，结果一正两负；当围成锐角三角形时，可知三个外角余弦值皆为负，则比为正值，符合题意．故选A.
5．(文)(2012•江苏东台市质检)已知函数f(x)＝πsinx4，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
[答案] B
[解析] 函数f(x)周期T＝2π14＝8π，
则|x1－x2|的最小值为T2＝4π.
[点评] 考查三角函数的最值及周期，又不直接涉及这些概念，应注意加强这种问题的分析，强化训练．
(理)(2012•北京大兴区模拟)已知函数f(x)＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] f(x)的周期T＝2ππR＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R>3，则2R>23>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.
6．(文)(2012•山东日照调研)已知cosα＝－45且α∈π2，π，则tanα＋π4等于( )
A．－17 B．－7
C.17 D．7
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