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共22道小题，约8930字。

　　山东省青岛市2013届高三阶段性测试数学试卷6（解析版）
　　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
　　第Ⅰ卷(选择题　共60分)
　　一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
　　1．(2012•东北育才期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)
　　A．(－∞，4)　　 　　　 B．(－∞，0)
　　C．(－4，＋∞)   D．(4，＋∞)
　　[答案]　A
　　[解析]　圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.
　　2．(文)(2012•福州市期末)若双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
　　A.5   B．5
　　C.2   D．2
　　[答案]　A
　　[解析]　焦点F(c,0)到渐近线y＝bax的距离为d＝bca2＋b2＝2a，两边平方并将b2＝c2－a2代入得c2＝5a2，∵e＝ca>1，∴e＝5，故选A.
　　(理)圆锥曲线y29＋x2a＋8＝1的离心率e＝12，则a的值为(　　)
　　A．4　　　　　　　　　　 B．－54
　　C．4或－54   D．以上均不正确
　　[答案]　C
　　[解析]　∵e＝12，∴曲线为椭圆．
　　(1)焦点在y轴上时，9>a＋8>0，∴－8<a<1，
　　此时1－a3＝12，∴a＝－54；
　　(2)焦点在x轴上时，a＋8>9，∴a>1.
　　此时a－1a＋8＝12，∴a＝4，故选C.
　　3．(文)设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为(　　)
　　A.x212＋y216＝1   B.x216＋y212＝1
　　C.x248＋y264＝1   D.x264＋y248＝1
　　[答案]　B
　　[解析]　依题意得抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，椭圆的右焦点坐标是(2,0)，由题意得m2－n2＝22且e＝2m＝12，m＝4，n2＝12，则椭圆的方程是x216＋y212＝1，选B.
　　(理)(2012•天水一中期末)以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为(　　)
　　A.3－1   B．2－3
　　C.22   D.32
　　[答案]　A
　　[解析]　由题意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，
　　又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝3c，
　　由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，
　　∴3c＋c＝2a，∴e＝ca＝3－1.
　　4．(2012•许昌月考)已知双曲线x2a21－y2b2＝1与椭圆x2a22＋y2b2＝1的离心率互为倒数，其中a1>0，a2>b>0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是(　　)
　　A．锐角三角形   B．直角三角形
　　C．钝角三角形   D．等腰三角形
　　[答案]　B
　　[解析]　12＝e21e22＝c21a21•c22a22＝a21＋b2a21•a22－b2a22，则a21a22＝a21a22＋(a22－a21)b2－b4，所以a22－a21＝b2，则以a1、a2、b为边长的三角形是以a2为斜边的直角三角形，故选B.
　　5．(2010•广西柳州市模拟)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(2，－1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中0≤α，β≤1，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为(　　)
　　A．2x＋3y－4＝0
　　B．(x－12)2＋(y－1)2＝25
　　C．4x＋3y－5＝0(－1≤x≤2)
　　D．3x－y＋8＝0(－1≤x≤2)
　　[答案]　C
　　[解析]　设C(x，y)，则由OC→＝αOA→＋βOB→得，(x，y)＝(2α－β，－α＋3β)，
　　∴x＝2α－βy＝－α＋3β(1)
　　∵α＋β＝1，∴β＝1－α，代入(1)中并消去α得，
　　4x＋3y－5＝0，
　　∵0≤α≤1，x＝3α－1，∴－1≤x≤2.
　　6．(文)(2012•北京海淀期末)已知椭圆E：x2m＋y24＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是(　　)
　　A．kx＋y＋k＝0   B．kx－y－1＝0
　　C．kx＋y－k＝0   D．kx＋y－2＝0
　　[答案]　D
　　[解析]　A选项中，当k＝－1时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等；B选项中，当k＝1时，两直线平行，两直线被椭圆截得的弦长相等；C选项中，k＝1时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆截得的弦长相等，故选D.
　　[点评]　本题充分利用椭圆的对称性及“可能相等”用特例作出判断，方便的获解，如果盲目从直线与椭圆相交求弦长，则费神耗力无收获．
　　(理)(2012•汪清六中期中)过双曲线M：x2－y2b2＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是(　　)
　　A.52   B.103
　　C.5   D.10
　　[答案]　D
　　[解析]　A(－1,0)，渐近线为y＝±bx，
　　l的方程为y＝x＋1，
　　由y＝x＋1，y＝±bx，得
　　B－1b＋1，bb＋1，C1b－1，bb－1.
　　又|AB|＝|BC|，∴b＝3.则离心率e＝32＋11＝10，选D.
　　7．(2012•乐山一中月考)设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为12的点P的个数为(　　)
　　A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
　　[答案]　B
　　[解析]　直线l关于原点对称的直线l′的方程为2x＋y－2＝0，结合图形易知直线l′与椭圆的两个交点A、B分别是椭圆的长轴和短轴的两个端点，可得|AB|＝5，∵△PAB的面积为12，∴椭圆上的点P到直线AB的距离为55，则确定点P的个数即为求与直线AB平行且与AB距离为55的直线与椭圆交点的个数，设直线方程为2x＋y＋c＝0，利用两平行线间的距离公式可知c＝－1或c＝－3.即直线方程为2x＋y－1＝0,2x＋y－3＝0，结合图形知直线2x＋y－1＝0和椭圆相交，而直线2x＋y－3＝0与椭圆相离，故满足条件的点共有2个．
　　8．(文)(2010•山东日照模拟)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线x2a2－y2＝1(a>0)交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是(　　)
　　A.3   B.6
　　C．2   D．3
　　[答案]　B
　　[解析]　由题意易知，抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F(1,0)，直线x＝－1与双曲线的交点坐标为(－1，±1－a2a)，若△FAB为直角三角形，则只能是∠AFB为直角，△FAB为等腰直角三角形，所以1－a2a＝2⇒a＝55，从而可得c＝305，所以双曲线的离心率e＝ca＝6，选B.
　　(理)(2012•合肥一中月考)设F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y＝b相切的⊙F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为(　　)
　　A.53   B.63
　　C.32   D.3－1
　　[答案]　A
　　[解析]　由条件知EF2＋EF1＝2a，EF2＝b，
　　∴EF1＝2a－b.
　　又EF2⊥EF1，∴4c2＝(2a－b)2＋b2.
　　将c2＝a2－b2代入得b＝23a.
　　e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－ba2＝59.
　　∴e＝53.
　　9．(文)(2012•新泰一中模拟)设P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是(　　)
　　A．内切   B．外切
　　C．内切或外切   D．不相切
　　[答案]　A
　　[解析]　取PF2的中点M，则2|OM|＝|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距．
　　由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a，
　　即2|MF2|－2|OM|＝2a，∴|OM|＝|MF2|－a，
　　即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．
　　(理)(2012•临沂期末)如图所示，从双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为(　　)
　　A．|MO|－|MT|>b－a   B．|MO|－|MT|＝b－a
　　C．|MO|－|MT|<b－a   D．不确定
　　[答案]　B
　　[解析]　连接PF′，OT.∵|FP|－|F′P|＝2a，
　　∴2|FM|－2|OM|＝2a，即|FM|－|OM|＝a.
　　又∵|OT|＝a，|OF|＝c，∴|FT|＝b，
　　∴|FM|＝|MT|＋b，∴|MT|＋b－|OM|＝a，
　　即|MO|－|MT|＝b－a，故选B.
　　10．(文)(2012•华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b，则a＋b＝(　　)
　　A.125   B.245
　　C.65   D．5
　　[答案]　B
　　[解析]　圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋5＝0距离d＝125，∴a＋b＝125＋r＋125－r＝245(r为圆的半径)．
　　(理)(2012•福州市期末)定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”．过函数y＝9－x2图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为(　　)
　　A．10   B．11
　　C．12   D．13
　　[答案]　B
　　[解析]　依据“左整点”的定义知，函数y＝9－x2的图象上共有七个左整点，如图过两个左整点作直线，倾斜角大于45°的直线有：AC，AB，BG，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共11条，故选B.