2010年全国高中数学联合竞赛试题

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  • 更新时间: 2010/10/19 13:19:37
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共14题,约3010字。

  2010年全国高中数学联合竞赛一试
  试题参考答案及评分标准(A卷)
  说明:
  1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
  2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次。
  一、填空题(本题满分64分,每小题8分)
  1. 函数 的值域是  .
  解:易知 的定义域是 ,且 在 上是增函数,从而可知 的值域为 .
  2. 已知函数 的最小值为 ,则实数 的取值范围是  .
  解:令 ,则原函数化为 ,即
  .
  由   ,
  ,
  及  知
  即   .      (1)
  当 时(1)总成立;
  对 ;
  对 .
  从而可知     .
  3. 双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 9800 .
  解:由对称性知,只要先考虑 轴上方的情况,设 与双曲线右半支于 ,交直线 于 ,则线段 内部的整点的个数为 ,从而在 轴上方区域内部整点的个数为
  .
  又 轴上有98个整点,所以所求整点的个数为
  .
  4. 已知 是公差不为 的等差数列, 是等比数列,其中 ,且存在常数 使得对每一个正整数 都有 ,则   .
  解:设 的公差为 的公比为 ,则
  (1)
  ,   (2)
  (1)代入(2)得
  ,求得 .
  从而有    对一切正整数 都成立,
  即    对一切正整数 都成立.
  从而   ,
  求得   ,  .
  5. 函数  在区间 上的最大值为8,则它在这个区

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