2015年高中数学希望杯典型例题100道（共9份）
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2015年高中数学希望杯典型例题100道（9份）
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高中数学希望杯典型例题100道（1-10）.doc
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高中数学希望杯典型例题100道（1-10）
题1 已知 的大小关系是 .
（第十一届高二第一试第11题）
解法1 ， .
.
解法 2 ， .
解法3
= .
解法4 原问题等价于比较 与 的大小.由 得 ， .
.
解法5 如图1，在函数 的图象上取三个不同的点A（ ， ）、B（ ， ）、C（ ， ）.
由图象，显然有 ，即 ，
即 ，亦即 .
解法6 令 ， 单调递减，而 ， ，即 ， .
解法7 考虑等轴双曲线 .
如图2，其渐近线为 .在双曲线上取两点
A（ ， ）、B（ ， ）.
由图形，显然有 ，即 ，从而 .
解法8 如图3.在Rt△ABC中，∠C为直角，BC= ，AC= ，BD= ，则AB= ，DC= .
在△ABD中，AB-AD<BD，即 AD ，
从而 AD-DC< DC，
即 ，故 .
评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是： 时， ； 时， .此题直接作差难以确定差高中数学希望杯典型例题100道（41-50）
题41 E、F是椭圆 的左、右焦点，l是椭圆的准线，点 ，则 的最大值是 （ ）
A、15° B、30° C、45° D、60°
（第十三届高二培训题第21题）
解法1 不妨设l是右准线，点P在x轴上方（如图所示），则l的方程为 ，故可设点P为 ，记 ，由PE到PF的角为 ，得 .又知 ，代入上式并化简，得 .由假设知 ，所以 .由基本不等式得 ，所以 的最大值为30°，当 时取得最大值.故选B.
解法2 如上图，设 ，则
,因为
所以 的最大值为30°.故选B.
解法3 由 面积的两种表示方法，即 ，得
，因为 为锐角，所以 的最大值为30°.故选B.
解法4 依题意，经过E、F且与椭圆的准线 相切于点P的圆，使 最大.如图1，不妨设 是右准线，点P在x轴上方，则准线方程为 ，易得圆心C的坐标为 ，因此点P 使 最大.又PE、PF的斜率分别为 、 ，设准线 轴于点A，则 ，此时 .故选B.
评析 一般说来，要求某个角的最值，常常先求出此角的某一三角函数的最值.然后根据角所在范围内此三角函数的单调性确定角的最值.
解法1运用到角公式与基本不等式求出了 正切的最大值，又利用 为锐角时 单调增，求出了 的最大值.解法2将 表示成两角差，并利用基本不等式求出了 的最大值，进而求出 的最大值.而解法3利用同一三角形面积的两种不同表示方法,高中数学希望杯典型例题1 00道（91-100）
题91 三棱锥 中， 为底面 内的一点，
，则 的余弦值为______.
（第九届高一第二试第20题）
解法1 设 在 三边上的投影分别是 ，则由于
，
，即 ，它的余弦值为 .
解法2 如图1，以 为棱， 的延长线为对角线长作长方体 ，设 又设
∴在 中，
即 的余弦值为 .
解法3 如图2，过 作平面 垂直于 ，分别交 于 ，由已知有 平面 平面 ， 从而 平面 ，连结 并延长交 于 ，连结 ,显然有 连结 、 .不妨设 又 在 中， 由
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