2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
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共14道小题,约1620字。
2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、填空题(本题满分70分,每小题7分)
1.方程 的实数解为 .
提示与答案:x<0无解; 当 时,原方程变形为32x+3x-6=0,解得3x=2,x=log32.
2.函数 R 的单调减区间是 .
提示与答案:与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, Z.
3.在△ 中,已知 , ,则 = .
提示与答案: ,得 .
4.函数 在区间 上的最大值是 ,最小值是 .
提示与答案:极小值-4,端点函数值f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值0.
5.在直角坐标系 中,已知圆心在原点 、半径为 的圆与△ 的边有公共点,
其中 、 、 ,则 的取值范围为 .
提示与答案:画图观察,R最小时圆与直线段AC相切,R最大时圆过点B.[855,10].
6.设函数 的定义域为R,若 与 都是关于 的奇函数,则函数
在区间 上至少有 个零点.
提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 满足问题中的条件,且 的
一个零点恰为 ,k∈Z. 所以至少有50个零点.
7.从正方体的 条棱和 条面对角线中选出 条,使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线,则 的最大值为 .
提示与答案:不能有公共端点,最多4条,图上知4条可以.
8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中
镀 金 银的概率是 .
提示与答案:穷举法,注意可翻转,有6种情况,2金2银有两种,概率为 13 .
9.在三棱锥 中,已知 ,
,且 .已知棱 的长为 ,则此棱锥的体积为 .
提示与答案:4面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 .
10.设复数列 满足 , ,且 .若对任意 N* 都有 ,
则 的值是 .
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