2008年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
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共15道小题,约2360字。
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.函数 在 上的最小值是 ( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解] 当 时, ,因此
,当且仅当 时上式取等号.而此方程有解 ,因此 在 上的最小值为2.
2.设 , ,若 ,则实数 的取值范围为 ( D )
A. B. C. D.
[解] 因 有两个实根
, ,
故 等价于 且 ,即
且 ,
解之得 .
3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 的期望 为 ( B )
A. B. C. D.
[解法一] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
.
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
,
,
,
故 .
[解法二] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6.
令 表示甲在第 局比赛中获胜,则 表示乙在第 局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
,
,
,
故 .
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( A )
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ,则有 , ,不妨设 ,从而 , .故 . 只能取9,8,7,6.
若 ,则 ,易知 , ,得一组解 .
若 ,则 , .但 , ,从而 或5.若 ,则 无解,若 ,则 无解.此时无解.
若 ,则 ,有唯一解 , .
若 ,则 ,此时 , .故 ,但 ,故 ,此时 无解.
综上,共有两组解 或
体积为 cm3或 cm3.
5.方程组 的有理数解 的个数为 ( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 若 ,则 解得 或
若 ,则由 得 . ①
由 得 . ②
将②代入 得 . ③
由①得 ,代入③化简得 .
易知 无有理数根,故 ,由①得 ,由②得 ,与 矛盾,故该方程组共有两组有理数解 或
6.设 的内角 所对的边 成等比数列,则 的取值范围是
( C )
A. B.
C. D.
[解] 设 的公比为 ,则 ,而
.
因此,只需求 的取值范围.
因 成等比数列,最大边只能是 或 ,因此 要构成三角形的三边,必需且只需 且 .即有不等式组
即
解得
从而 ,因此所求的取值范围是 .
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.设 ,其中 为实数, , , ,若 ,则 5 .
[解] 由题意知
,
由 得 , ,因此 , , .
8.设 的最小值为 ,则 .
[解]
,
(1) 时, 当 时取最小值 ;
(2) 时, 当 时取最小值1;
(3) 时, 当 时取最小值 .
又 或 时, 的最小值不能为 ,
故 ,解得 , (舍去).
9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.
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