2008年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)

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共15道小题,约2360字。

  2008年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
  说明:
  1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
  2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
  一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
  1.函数 在 上的最小值是                               ( C )
  A.0               B.1              C.2               D.3
  [解] 当 时, ,因此 
  ,当且仅当 时上式取等号.而此方程有解 ,因此 在 上的最小值为2.
  2.设 , ,若 ,则实数 的取值范围为       ( D )
  A.           B.           C.            D.
  [解] 因 有两个实根
  , ,
  故 等价于 且 ,即
  且 ,
  解之得 .
  3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 的期望 为            ( B )
  A.             B.             C.            D. 
  [解法一] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6.
  设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
  .
  若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
  ,
  ,
  ,
  故 .
  [解法二] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6.
  令 表示甲在第 局比赛中获胜,则 表示乙在第 局比赛中获胜.
  由独立性与互不相容性得
  ,
  ,
  ,
  故 .
  4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为                                                          ( A )
  A. 764 cm3或586 cm3                      B. 764 cm3       
  C. 586 cm3或564 cm3                      D. 586 cm3
  [解] 设这三个正方体的棱长分别为 ,则有 , ,不妨设 ,从而 , .故 . 只能取9,8,7,6.
  若 ,则 ,易知 , ,得一组解 .
  若 ,则 , .但 , ,从而 或5.若 ,则 无解,若 ,则 无解.此时无解.
  若 ,则 ,有唯一解 , .
  若 ,则 ,此时 , .故 ,但 ,故 ,此时 无解.
  综上,共有两组解 或
  体积为 cm3或 cm3.
  5.方程组 的有理数解 的个数为                      ( B )
  A.  1               B.  2             C.  3               D.  4
  [解] 若 ,则 解得 或
  若 ,则由 得 .       ①
  由 得 .             ②
  将②代入 得 .           ③
  由①得 ,代入③化简得 .
  易知 无有理数根,故 ,由①得 ,由②得 ,与 矛盾,故该方程组共有两组有理数解 或
  6.设 的内角 所对的边 成等比数列,则 的取值范围是
  ( C )
  A.                             B.  
  C.                      D. 
  [解] 设 的公比为 ,则 ,而
  .
  因此,只需求 的取值范围.
  因 成等比数列,最大边只能是 或 ,因此 要构成三角形的三边,必需且只需 且 .即有不等式组
  即
  解得
  从而 ,因此所求的取值范围是 .
  二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
  7.设 ,其中 为实数, , , ,若 ,则     5     .
  [解] 由题意知
  ,
  由 得 , ,因此 , , .
  8.设 的最小值为 ,则  .
  [解] 
  ,
  (1)  时, 当 时取最小值 ;
  (2)  时, 当 时取最小值1;
  (3)  时, 当 时取最小值 .
  又 或 时, 的最小值不能为 ,
  故 ,解得 , (舍去).
  9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有   222  种.

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