此资源为用户分享，在本站免费下载，只限于您用于个人教学研究。

共4题，约1200字。

　　2009年全国高中数学联合竞赛加试
　　试题参考答案及评分标准（A卷）
　　说明：
　　1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
　　2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．
　　一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
　　1． 如图， ， 分别为锐角三角形 （ ）的外接圆 上弧 、 的中点．过点 作 交圆 于 点， 为 的内心，连接 并延长交圆 于 ．
　　⑴求证： ；
　　⑵在弧 （不含点 ）上任取一点 （ ， ， ），记 ， 的内心分别为 ， ，
　　求证： ， ， ， 四点共圆．
　　【解析】 ⑴连 ， ．由于 ， ， ， ， 共圆，故 是等腰梯形．因此 ， ．
　　连 ， ，则 与 交于 ，因为
　　，
　　所以 ．同理
　　．
　　于是
　　， ．
　　故四边形 为平行四边形．因此 （同底，等高）．
　　又 ， ， ， 四点共圆，故 ，由三角形面积公式
　　于是 ．
　　⑵因为 ，
　　所以 ，同理 ．由 得 ．
　　由⑴所证 ， ，故
　　．
　　又因
　　，
　　有
　　．
　　故 ，从而
　　．
　　因此 ， ， ， 四点共圆．
　　2． 求证不等式：
　　， ，2，…
　　【解析】 证明：首先证明一个不等式：
　　⑴ ， ．
　　事实上，令
　　， ．
　　则对 ，
　　， ．