2008年全国高中数学联合竞赛加试试题
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约1450字 2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)
试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分;
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、(本题满分50分)
如题一图,给定凸四边形 , , 是平面上的动点,令 .
(Ⅰ)求证:当 达到最小值时, 四点共圆;
(Ⅱ)设 是 外接圆 的 上一点,满足: , , ,又 是 的切线, ,求 的最小值.
[解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点 ,有
.
因此
.
因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号,因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时,
. …10分
又因 ,此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号.因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时, 取最小值 .
故当 达最小值时, 四点共圆. …20分
(Ⅱ)记 ,则 ,由正弦定理有 ,从而 ,即 ,所以
,
整理得 , …30分
解得 或 (舍去),
故 , .
由已知 = ,有 ,即 ,整理得 ,故 ,可得 , …40分
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