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共11题，约1500字。

　　2009年全国高中数学联合竞赛一试
　　试题参考答案及评分标准
　　说明：
　　1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
　　2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．
　　一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）
　　1． 若函数 且 ，则        ．
　　【答案】 
　　【解析】  ，
　　……
　　．
　　故 ．
　　2． 已知直线 和圆 ，点 在直线 上， ， 为圆 上两点，在 中， ， 过圆心 ，则点 横坐标范围为            ．
　　【答案】 
　　【解析】 设 ，则圆心 到直线 的距离 ，由直线 与圆 相交，得 ．
　　解得 ．
　　3． 在坐标平面上有两个区域 和 ， 为 ， 是随 变化的区域，它由不等式 所确定， 的取值范围是 ，则 和 的公共面积是函数         ．
　　【答案】 
　　【解析】 由题意知
　　4． 使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数 的值为     ．
　　【答案】 
　　【解析】 设 ．显然 单调递减，则由 的最大值 ，可得 ．
　　5． 椭圆  上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的最小值为     ．
　　【答案】 
　　【解析】 设 ，
　　．
　　由 ， 在椭圆上，有
　　①
　　②
　　得
　　．
　　于是当 时， 达到最小值 ．
　　6． 若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是          ．
　　【答案】  或
　　【解析】 
　　当且仅当
　　①
　　②
　　③
　　对③由求根公式得
　　，     ④
　　或 ．
　　(ⅰ)当 时，由③得
　　所以 ， 同为负根．