2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题

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共11题,约1070字。

  2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
  (考试时间:2010年9月4日上午10:00—11:20)
  题号 一 二 合计
  1 2 3 
  得分     
  评卷人     
  复核人     
  注意事项:
  1.本试卷共二大题,全卷满分120分。
  2.用圆珠笔或钢笔作答。
  3.解题书写不要超出装订线。
  4.不能使用计算器。
  一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.
  1.方程 在区间 上的实根个数为_________________.
  2.设数列 的前 项和为 ,则满足不等式 的最小整数 是_________________.
  3.已知 ( , )是常数,且 , , , 是区间 内任意实数,则函数 的最大值等于_________________.
  4.圆周上给定10个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在圆内一共有_________________个交点.
  5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
  6.设 是平面上一个定点, , , 是平面上不共线的三个点,动点 满足 ,其中 ,则点 的轨迹为_________________.
  7.对给定的整数 ,符号 表示 中使 能被3整除的唯一值,那么 _________________.
  8.分别以直角三角形的两条直角边 , 和斜边 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体的体积依次为 , , ,则 与 的大小关系是_________________.
  二、解答题:本大题共3小题,共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
  1.(本小题满分16分)
  是否存在实数 ,使直线 和双曲线 相交于两点 、 ,且以 为直径的圆恰好过坐标系的原点?
  2.(本小题满分20分)
  求证:不存在这样的函数 ,满足对任意的整数 , ,若 ,则 .
  3.(本小题满分20分)
  设非负实数 , , 满足 ,求证:
  2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
  一、填空题
  1.设 ,则 ,∵ ,∴ ,又 ,∴ ,即在区间 上单调递增,故方程 在区间 上有且只有一个实根.
  2. 易知数列 是首项是 ,公比是 的等比数列,∴ ,于是  ,∵

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