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　　约2010字  2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
　　答案及评分标准
　　（7月5日上午8：30—11：00）
　　考生注意：本试卷共三道大题，16道小题满分150分。
　　一． 选择题（本题满分30分，每小题5分）
　　本题共有6道小题，每小题给出了（A）（B）（C）（D）四个结论，其中只有一个是正确的。请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得5分，不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
　　1．已知集合M={x|x∈R，5－|2x－3|∈N+}，则M的所有非空真子集的个数是（ ）
　　A．254 B．255 C． 510 D． 511 [答]（ C ）
　　2．平面上满足约束条件 的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为
　　A．  B．  C．  D．   [答]（ B ）
　　3．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是
　　A．(1，1+  B．[ ，1+ 
　　C．（1，  D．[ ，   [答]（ C ）
　　4．设M是正方体各条棱的中点的集合，则过且公过M中3个点的平面的个数是
　　A．56B。81C。136D。145[答]（ ）
　　5．设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。。。），An、Bn分别为数列{an}、{bn}的前n项和。记cn=anBn+bnAn—anbn，则数列{cn}的前10项和为
　　A．210+53 B.2 11 +53
　　C.110×（2 9－1） D.110×（2 10－1） [答]（ D ）
　　6．将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是
　　A．30   B.31   C.32    D.33            [答]（ B ）
　　二．填空题（本题满分30分，每小题5分）
　　7．正四面体ABCD的外接球球心为O，E为BC中点，则二面角A—BO—E的大小为___120o____.
　　8．函数f（x）= 的最大值与最小值的乘积是_______－ __________.
　　9.把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰能围成三角形的概率为_____ _______.           
　　10．设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上递减。
　　若f（ ）=0，f（logax）＞0，那么x的变化范围是____ 或 _____.
　　11．数列{an}满足an = －1，则a1+a 2+a 3+。。。+a n =______ _________
　　12．已知点P是双曲线 － =1上的动点，F、F分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则 的取值范围_________ ________.
　　三．解答题（本题共4道小题，满分90分）          
　　13．（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx
　　（1）若a＜0，证明：对于任意两个正数x1，x2，总有 ≥f( )成立；
　　（2）若对任意x∈[1，e]，不等式f（x）≤（a+3）x－ x2恒成立，求a的取