2007-2010年高中数学竞赛试题分类汇编之三角函数和向量
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共19题,约2030字。
高中数学竞赛(07-10年)试题分类汇总——三角、向量
一、选择题
1.(07全国)设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立,则 的值等于( )
A. B. C. −1 D. 1
解:令c=π,则对任意的x∈R,都有f(x)+f(x−c)=2,于是取 ,c=π,则对任意的x∈R,af(x)+bf(x−c)=1,由此得 。
一般地,由题设可得 , ,其中 且 ,于是af(x)+bf(x−c)=1可化为
,即
,所以
。
由已知条件,上式对任意x∈R恒成立,故必有 ,
若b=0,则由(1)知a=0,显然不满足(3)式,故b≠0。所以,由(2)知sinc=0,故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈π时,cosc=1,则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z),cosc=−1。由(1)、(3)知 ,所以 。
2.(08全国) 中,边 成等比数列,则 的取值范围是( C )
A. B.
C. D.
[解] 设 的公比为 ,则 ,而
.
因此,只需求 的取值范围.
因 成等比数列,最大边只能是 或 ,因此 要构成三角形的三边,必需且只需 且 .即有不等式组
即
解得
从而 ,因此所求的取值范围是 .
3.(08江苏)如果 的三个内角的余弦值分别是 的三个内角的正弦值,那么 答:[B]
A. 与 都是锐角三角形
B. 是锐角三角形, 是钝角三角形
C. 是钝角三角形, 是锐角三角形
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