2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷

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共15道小题,约2300字。

  2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷
  (考试时间:2016年5月22日上午9:00-11:30,满分160分)
  一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)
  1.若函数 ( )的最小正周期为 ,则 在区间 上的最大值为                。
  【答案】  
  【解答】∵  
  ,且 的最小正周期为 。
  ∴   , 。又 时, ,
  ∴   ,即 时, 在区间 上取最大值 。
  2.已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围为                  。
  【答案】  
  【解答】 。由 ,得 。
  ∴   时, 。满足 。
  时,由 ,得 , 。满足 。
  时,由 ,得 , 。由满足 ,得 , 。
  综合得, 。 的取值范围为 。
  3.函数 零点的个数为            。
  【答案】  1
  【解答】  ∵   。
  时, ; 时, 。
  ∴   在区间 上为减函数,在区间 上为增函数。
  又 时, , ;
  , 。
  ∴  函数 的零点个数为1。
  或:作图考察函数 与 图像交点的个数。
  4.如图,在正方体 中,二面角 的大小为          。
  【答案】  
  【解答】设正方体棱长为1。作 于 ,连结 。
  由正方体的性质知, 。
  ∴   ,  为二面角 的平面角,且 , 。
  ∴   。
  ∴  二面角 的大小为 。
  或:设 、 交于点 ,由 ,得 。
  5.在空间四边形 中,已知 , , , ,则                 。
  【答案】  7
  【解答】 以 , , 为基底向量。则 。
  ∴   ,
  即  。
  ∴   ,
  ∴   。
  ∴  
  。
  6.已知直线 过椭圆 : 的左焦点 且交椭圆 于 、 两点。 为坐标原点,若 ,则点 到直线 的距离为               。
  【答案】  
  【解答】   。显然 轴不符合要求。设直线 方程为 。
  由 ,得   ………… ①
  ①的判别式大于0。设 , ,则 , 。
  由 ,得
  。
  ∴   , 。
  ∴  点 到直线 的距离为 。
  7.已知 ,若关于 的方程 ( 为虚数单位)有实数根,则复数 的模 的最小值为                  。

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