2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷
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共15道小题,约2300字。
2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷
(考试时间:2016年5月22日上午9:00-11:30,满分160分)
一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)
1.若函数 ( )的最小正周期为 ,则 在区间 上的最大值为 。
【答案】
【解答】∵
,且 的最小正周期为 。
∴ , 。又 时, ,
∴ ,即 时, 在区间 上取最大值 。
2.已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围为 。
【答案】
【解答】 。由 ,得 。
∴ 时, 。满足 。
时,由 ,得 , 。满足 。
时,由 ,得 , 。由满足 ,得 , 。
综合得, 。 的取值范围为 。
3.函数 零点的个数为 。
【答案】 1
【解答】 ∵ 。
时, ; 时, 。
∴ 在区间 上为减函数,在区间 上为增函数。
又 时, , ;
, 。
∴ 函数 的零点个数为1。
或:作图考察函数 与 图像交点的个数。
4.如图,在正方体 中,二面角 的大小为 。
【答案】
【解答】设正方体棱长为1。作 于 ,连结 。
由正方体的性质知, 。
∴ , 为二面角 的平面角,且 , 。
∴ 。
∴ 二面角 的大小为 。
或:设 、 交于点 ,由 ,得 。
5.在空间四边形 中,已知 , , , ,则 。
【答案】 7
【解答】 以 , , 为基底向量。则 。
∴ ,
即 。
∴ ,
∴ 。
∴
。
6.已知直线 过椭圆 : 的左焦点 且交椭圆 于 、 两点。 为坐标原点,若 ,则点 到直线 的距离为 。
【答案】
【解答】 。显然 轴不符合要求。设直线 方程为 。
由 ,得 ………… ①
①的判别式大于0。设 , ,则 , 。
由 ,得
。
∴ , 。
∴ 点 到直线 的距离为 。
7.已知 ,若关于 的方程 ( 为虚数单位)有实数根,则复数 的模 的最小值为 。
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