2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题
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共10题,约1400字。
2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案
一、填空题: 本大题共6小题,每小题8分,共48分,把答案填在横线上.
1.设集合 与 恰有一个公共元素为 , 则实数 .
答案:
解析:因为 所以公共元素为 ,解得 。
2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形, 则正九边形的中心在三角形内的概率为 .
答案:
解析:如图,正 边形中包含中心的三角形有以下三种形状:
对于(1),有 种情况;对于(2),有 种情况;对于(3);有 种情况;故所求概率为
3.设 , , ,点 是线段 上的一个动点, ,若 ,则实数 的取值范围是_______________.
答案:
解析: ,则 , ,
,解得:
,因点 是线段 上的一个动点,所以 ,综上,满足条件的 的取值范围是 .
4.顶点为 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形, 是底面圆周上的点, 是底面圆内的点, 为底面圆圆心, ,垂足为 , ,垂足为 ,且 , 为 的中点,则当三棱锥 的体积最大时, 的长为______.
答案: .
5.已知复数 的模为 ,则 的最小值为_____________.
答案:
解:在复平面内,设 、 , 为单位圆上的点,问题转化为求 的最小值,设 ,其中
由于 ,必存在 使 ,即等号可以取到.
6.在 中, ,则 .
答案:
解析:因为
所以
注意到:
故
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