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　　1　小集合，大功能
　　1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝________.
　　答案　(1,2]
　　解析　A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，
　　∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
　　2．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a＝________.
　　答案　－12或0或1
　　解析　依题意可得A∩B＝B??B??A.
　　因为集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}，
　　当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－12；
　　当x＝1时，a＝1；
　　又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0.
　　所以a的取值为－12或0或1.
　　3．设集合M＝{y|y－m≤0}，N＝{y|y＝2x－1，x∈R}，若M∩N≠??，则实数m的取值范围是________．
　　答案　(－1，＋∞)
　　解析　M＝{y|y≤m}，N＝{y|y>－1}，结合数轴易知m>－1.
　　4．(2014??浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则??UA＝________.
　　答案　{2}
　　解析　因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，
　　所以??UA＝{x∈N|2≤x<5}，故??UA＝{2}．
　　5．已知M＝{y|y＝2x}，N＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，则M∩N中元素个数为________．
　　答案　0
　　解析　集合M是数集，集合N是点集，
　　故其交集中元素的个数为0.
　　6．(2014??徐州模拟)设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－3x－4≤0}，则(??RS)∩(??RT)＝________.
　　答案　(－∞，－1)
　　解析　因为T＝{x|－1≤x≤4}，
　　所以(??RS)∩(??RT)＝??R(S∪T)＝(－∞，－1)．
　　7．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________.
　　答案　4
　　解析　当a＝0时，显然不成立；
　　当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.
　　8．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．
　　答案　3
　　2　常用逻辑用语中的“常考题型”
　　1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A??B”的________条件．
　　答案　充分不必要
　　解析　若a＝3，则A＝{1,3}??B，
　　故a＝3是A??B的充分条件；
　　而若A??B，则a不一定为3，
　　当a＝2时，也有A??B.
　　故a＝3不是A??B的必要条件．
　　2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．
　　答案　若tan α≠1，则α≠π4
　　解析　由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.
　　3．(2014??无锡模拟)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
　　p1：数列{an}是递增数列；
　　p2：数列{nan}是递增数列；
　　p3：数列ann是递增数列；
　　p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
　　其中，真命题为________．
　　答案　p1，p4
　　解析　如数列－2，－1,0,1,2，…，
　　则1×a1＝2×a2，排除p2，
　　如数列1,2,3，…，则ann＝1，
　　排除p3.
　　4．已知p：2xx－1<1，q：(x－a)(x－3)>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
　　答案　[1，＋∞)
　　解析　2xx－1－1<0??x＋1x－1<0??(x－1)(x＋1)<0??p：－1<x<1.当a≥3时，q：x<3或x>a；当a<3时，q：x<a或x>3.綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p??q且q 3　突破充要条件的综合性问题
　　1．甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则甲是乙的________条件．
　　答案　必要不充分
　　解析　“甲??乙”，即“x≠2或y≠3”??“x＋y≠5”，其逆否命题为：“x＋y＝5”??“x＝2且y＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙??甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．
　　2．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
　　答案　0，12
　　解析　綈p：|4x－3|>1；
　　綈q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)>0，
　　解得綈p：x>1或x<12；綈q：x>a＋1或x<a.
　　若綈p??綈q，则a≤12，a＋1>1或a<12，a＋1≥1，即0≤a≤12.
　　3．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的________条件．
　　答案　充分不必要
　　解析　由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于0<a<1，函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数等价于0<a<1或1<a<2，
　　∴“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．
　　4．(2014??湖北改编)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A??C，B????UC”是“A∩B＝??”的________条件．
　　答案　充要
　　解析　若存在集合C使得A??C，B????UC，则可以推出A∩B＝??；
　　若A∩B＝??，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A??C，B????UC.
　　故“存在集合C使得A??C，B????UC”是“A∩B＝??”的充要条件．
　　5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．
　　答案　充分不必要
　　解析　当α⊥β时，由于α∩β＝m，b??β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.
　　又∵a??α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．
　　而当a??α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.
　　4　再谈“三个二次”的转化策略
　　1．若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝??，则实数p的取值范围是________．
　　答案　(－4，＋∞)
　　解析　当A＝??时，Δ＝(p＋2)2－4<0，
　　∴－4<p<0.
　　当A≠??时，方程x2＋(p＋2)x＋1＝0有一个或两个非正根，
　　∴Δ≥0，x1＋x2＝－(p＋2)≤0，∴p≥0.
　　综上所述，p>－4.
　　2．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为________．
　　答案　[1,2]
　　解析　∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1，又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.
　　3．方程x2－32x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是________．
　　答案　[－916，52]
　　解析　m＝x2－32x＝x－342－916，x∈[－1,1]．
　　当x＝－1时，m取最大值为52，
　　当x＝34时，m取最小值为－916，∴－916≤m≤52.
　　4．已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，x2－2x＋1，x>0，若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是________．
　　答案　(0,1)
　　解析　
　　设t＝f(x)，
　　则方程为t2－at＝0，
　　解得t＝0或t＝a，
　　即f(x)＝0或f(x)＝a.
　　如图，作出函数f(x)的图象，
　　由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，
　　5　如何用好基本不等式
　　1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a，ab，v的大小关系为________．
　　答案　a<v<ab
　　解析　设甲、乙两地之间的距离为s.
　　∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.
　　又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.
　　2．若函数f(x)＝x＋1x－2 (x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.
　　答案　3
　　解析　∵x>2，∴f(x)＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2
　　≥2(x－2)×1x－2＋2＝4，
　　当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4.
　　3．(2014??南通模拟)设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为________．
　　答案　4
　　解析　因为3a??3b＝3，所以a＋b＝1.
　　1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab
　　≥2＋2 ba??ab＝4，当且仅当ba＝ab，
　　即a＝b＝12时等号成立．
　　4．已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝x－2(x≥12)，则m与n之间的大小关系为________．
　　答案　m≥n
　　解析　m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥4(a>2)，
　　当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥12得x2≥14，
　　∴n＝x－2＝1x2≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.
　　5．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
　　答案　2
　　解析　∵x>0，y>0，
　　∴x＋2y≥22xy(当且仅当x＝2y时取等号)．
　　又由x＋22xy≤λ(x＋y)可得λ≥x＋22xyx＋y，
　　而x＋22xyx＋y≤x＋(x＋2y)x＋y＝2，
　　10　化解抽象函数快捷有效的几个途径
　　1．设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)＝________.
　　答案　－8
　　解析　∵f(x)为偶函数，
　　∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)，
　　当x＝1时，f(2＋1)＝(－2)??f(2－1)，
　　∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8.
　　2．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．
　　答案　必要不充分
　　解析　若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f(x)为奇函数，故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要不充分条件．
　　3．若f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为________．
　　答案　(－2,0)∪(0,2)
　　解析　因为f(x)为奇函数，且f(－2)＝0，
　　所以f(2)＝0.
　　作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：
　　当－2<x<0时，f(x)>0，
　　所以xf(x)<0；
　　当0<x<2时，f(x)<0，
　　所以xf(x)<0.
　　故不等式xf(x)<0的解集为(－2,0)∪(0,2)．
　　4．已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 014)＝________.
　　答案　－14
　　解析　令x＝1，y＝0，由已知得f(0)＝12，
　　令x＝y＝1，则f(2)＝4f2(1)－f(0)＝4×(14)2－12
　　＝－14.
　　取x＝n，y＝1，有f(n)＝f(n＋1)＋f(n－1)，①
　　同理f(n＋1)＝f(n＋2)＋f(n)，②
　　20　三角函数的图象与性质
　　1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(0<φ<π2)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则函数解析式为________．
　　答案　y＝2sin(4x＋π6)＋2
　　解析　由题意得A＋k＝4，－A＋k＝0，解得A＝2，k＝2.
　　又函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期为π2，
　　所以ω＝2ππ2＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.
　　又直线x＝π3是函数图象的一条对称轴，
　　所以4 ×π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，
　　所以φ＝kπ－5π6(k∈Z)，
　　又∵0<φ<π2，故φ＝π6.
　　故得y＝2sin(4x＋π6)＋2.
　　2．已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sin ωx??cos ωx，x∈R，又f(α)＝－12，f(β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________．
　　答案　13
　　解析　f(x)＝1－cos 2ωx2＋32sin 2ωx
　　＝32sin 2ωx－12cos 2ωx＋12
　　＝sin(2ωx－π6)＋12，
　　又由f(α)＝－12，f(β)＝12，
　　且|α－β|的最小值为3π4可知T＝3π，于是ω＝13.
　　3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，则只要将f(x)的图象向________平移________个单位长度．(答案不唯一)
　　答案　右　π12
　　解析　由题意，得函数f(x)的周期T＝45π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f(x)＝sin3x＋π4＝sin3x＋π12，所以将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g(x)＝sin 3x的图象．
　　24　基本量——破解等差、等比数列的法宝
　　1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为________．
　　答案　110
　　解析　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，
　　又∵a7是a3与a9的等比中项，
　　∴(a1－12)2＝(a1－4)??(a1－16)，
　　解得a1＝20.
　　∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.
　　2．(2014??课标全国Ⅱ改编)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.
　　答案　n(n＋1)
　　解析　由a2，a4，a8成等比数列，得a24＝a2a8，
　　即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，
　　∴a1＝2.
　　∴Sn＝2n＋n(n－1)2×2
　　＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．
　　3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为________．
　　答案　－2
　　解析　由2S4＝S5＋S6，
　　得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得
　　q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.
　　4．(2014??大纲全国改编)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和为________．
　　答案　4
　　解析　数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8
　　＝lg(a1??a2??…??a8)＝lg(a1??a8)4
　　＝lg(a4??a5)4＝lg(2×5)4＝4.
　　5．(2014??大纲全国改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝________.
　　答案　63
　　解析　在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，
　　故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，