2017版高考数学北师大版（理）一轮复习（课件+讲义）：第8章 立体几何与空间向量
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高考专题突破四 高考中的立体几何问题.docx
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1．简单几何体的结构特征
(1)旋转体
①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．
②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．
③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．
④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．
(2)多面体
①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．
②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
2．直观图
画直观图常用斜二测画法，其规则是：
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；
(3)已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的12.
3．三视图
(1)主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．
(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．
(3)同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
(4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．
4．常用结论
(1)常见旋转体的三视图
①球的三视图都是半径相等的圆．
②水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形．
③水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形．
④水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形．
1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体 表面积 体积
柱体
(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝13Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝13(S上＋S下＋S上S下)h
球 S＝4πR2 V＝43πR3
4.常用结论
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
(2)几个与球有关的切、接常用结论
a．正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.
c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )
(3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ )
(5)长方体既有外接球又有内切球．( × )
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
1．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．
其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是( )
A．③④ B．①③
C．②③ D．①②
答案 C
解析 由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．
2．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于( )
A．1 B.2
C.2－12 D.2＋12
答案 C
解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2 ]，不可能等于2－12.
3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
答案 D
解析 假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.
4．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．
答案 ①或③
解析 由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，aγ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
5.(2014•江苏改编)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则PA与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC的位置关系是________．(填“平行”或“垂直”)
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