2017版高考数学北师大版（理）一轮复习（课件+讲义）：第10章 计数原理
10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx
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10.2 排列与组合.docx
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10.3 二项式定理.docx
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1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理)
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．(也称乘法原理)
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( √ )
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( √ )
(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．( √ )
(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)
二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数 二项展开式中各项的系数Crn(r∈{0,1,2，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)0≤r≤n时，Crn与Cn－rn的关系是Crn＝Cn－rn.
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为 ；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大，最大值为 和 .
(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，
C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
【知识拓展】
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Crnan－rbr是二项展开式的第r项．( × )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( × )
(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( × )
1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A．Cmn B．Cm＋1n
C．Cm－1n D．(－1)m－1Cm－1n
答案 D
解析 (x－y)n展开式中第m项的系数为
Cm－1n(－1)m－1.
2．已知n＝ ，那么x－3xn展开式中含x2项的系数为( )
A．130 B．135
C．121 D．139
答案 B
解析 根据题意，n＝ ＝ ＝6，则x－3x6中，由二项式定理得通项公式为Tr＋1＝Cr6(－3)rx6－2r，令6－2r＝2，得r＝2，所以系数为C26×9＝135.
3．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn等于( )
A．63 B．64
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