2015年高考真题与模拟题分类汇编：A单元《集合与常用逻辑用语》
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数 学
A单元 集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．A1[2015•广东卷] 若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝( )
A．{1，4} B．{－1，－4}
C．{0} D．∅
1．D [解析] M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}，∴M∩N＝∅.
9．A1[2015•湖北卷] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为( )
A．77 B．49
C．45 D．30
9．C [解析] 集合A表示如图所示的所有实心圆表示的点，集合B表示如图所示的所有实心圆和所有空心圆表示的点，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去点(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)之外的所有整点(横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有实心圆、所有空心圆以及所有⊙表示的点，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.
1．A1[2015•江苏卷] 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
1．5 [解析] 因为A∪B＝{1，2，3，4，5}，所以A∪B中元素的个数为5.
1．A1[2015•全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1，0} B．{0，1}
C．{－1，0，1} D．{0，1，2}
1．A [解析] 因为B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1，0}，故选A.
20．D5，A1[2015•北京卷] 已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝2an，an≤18，2an－36，an>18(n＝1，2，…)．记集合M＝{an|n∈N*}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合M的元素个数的最大值．
20．解：(1)6，12，24.
(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．
由an＋1＝2an，an≤18，2an－36，an>18可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．
如果k>1，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数，从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．
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