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　　第1讲　变化率与导数、导数的运算
　　最新考纲　1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
　　知 识 梳 理
　　1．导数与导函数的概念
　　(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数
　　y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作
　　(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ __f（x＋Δx）－f（x）Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．
　　2．导数的几何意义
　　函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
　　3．基本初等函数的导数公式
　　基本初等函数 导函数
　　f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
　　f(x)＝xα(α是实数) f′(x)＝αxα－1
　　f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
　　f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
　　f(x)＝ex f′(x)＝ex
　　f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝axln_a
　　f(x)＝ln x f′(x)＝1x
　　f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝1xln a
　　4.导数的运算法则
　　若f′(x)，g′(x)存在，则有：
　　(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
　　(2)[f(x)•g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
　　(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．
　　诊 断 自 测
　　1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　 精彩PPT展示
　　(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)
　　(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)
　　(3)已知曲线y＝x3，则过点P(1，1)的切线有两条．(√)
　　(4)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t＝2.(√)
　　2．(2014•宜春摸底)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于(　　)
　　A．2  B．－1  C．1  D．－2
　　解析　依题意知，y′＝3x2＋a，则13＋a＋b＝33×12＋a＝k，k＋1＝3，由此解得a＝－1，b＝3，k＝2，所以2a＋b＝1，选C.
　　答案　C
　　3．(2015•保定调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
　　A．e  B．－e  C.1e  D．－1e
　　解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则
　　y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1e.
　　答案　C
　　4．(2014•江西卷)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
　　解析　令f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1，
　　设P(x0，y0)，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，
　　∴点P的坐标为(e，e)．
　　答案　(e，e)
　　5．(北师大选修1－1P63B2改编)曲线y＝sin xx在点M(π，0)处的切线方程为________．
　　解析　∵y′＝xcos x－sin xx2，∴y′|x＝π＝－ππ2＝－1π，
　　∴切线方程为：y＝－1π(x－π)，即x＋πy－π＝0.
　　答案　x＋πy－π＝0
　　考点一　导数的运算
　　【例1】 (1)(2015•郑州联考)已知f(x)＝12x2＋2xf′(2 014)＋2 014ln x，则f′(2 014)＝(　　)
　　A．2 015   B．－2 015  C．2 014  D．－2 014
　　解析　由题意得f′(x)＝x＋2f′(2 014)＋2 014x，
　　所以f′(2 014)＝2 014＋2f′(2 014)＋2 0142 014，
　　即f′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015.
　　答案　B
　　(2)求下列函数的导数：
　　①y＝x2sin x；②y＝ln xex.
　　解　①y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
　　＝2xsin x＋x2cos x.
　　②y′＝（ln x）′ex－（ex）′ln x（ex）2
　　＝1x•ex－exln x（ex）2