2016届《创新设计》数学一轮（文科） 江苏专用 配套精品课件 第三章 导数及其应用
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阶段回扣练3 导数及其应用
(时间：120分钟)
一、填空题
1．(2015•哈师大附中检测)设函数f(x)＝axln x(a∈R，a≠0)，若f′(e)＝2，则f(e)的值为________．
解析 f′(x)＝aln x＋a，故f′(e)＝2a＝2，得a＝1，
故f(x)＝xln x，f(e)＝e.
答案 e
2．(2015•扬州模拟)曲线y＝x2＋ln x在点(1,1)处的切线方程为________．
解析 y′＝2x＋1x，故y′|x＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简整理得3x－y－2＝0.
答案 3x－y－2＝0
3．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝______.
解析 由f′(x)＝2xx＋1－x2＋ax＋12＝x2＋2x－ax＋12＝0，
∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，
∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.
答案 3
4．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．
解析 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
第2讲 导数在研究函数中的应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为________．
解析 f(x)＝12x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x＝x2－1x，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)的递增区间是(1，＋∞)，递减区间是(0,1)．
答案 (0,1)
2．(2015•扬州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
解析 由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
a2＋3a－b－1＝0，b－6a＋3＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
答案 －7
3．f(x)＝x3－12x，x∈[－3,3]的最大值为________，最小值为________．
解析 f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝±2，
∵f(－3)＝9，f(3)＝－9，
f(－2)＝16，f(2)＝－16，
∴f(x)最大值为16，最小值为－16.
答案 16 －16
(建议用时：80分钟)
1．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax(a∈R)．若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围．
解 法一 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝ln x＋x2＋ax，∴f′(x)＝1x＋2x＋a.∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥0，即1x＋2x＋a≥0对x∈(0，＋∞)都成立．∴－a≤1x＋2x对x∈(0，＋∞)都成立．
∴当x＞0时，1x＋2x≥21x•2x＝22，当且仅当1x＝2x，即x＝22时取等号．∴－a≤22，即a≥－22.∴a的取值范围为[－22，＋∞)．
法二 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ln x＋x2＋ax，∴f′(x)＝1x＋2x＋a＝2x2＋ax＋1x.方程2x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ≤0，即－22≤a≤22时，2x2＋ax＋1≥0，此时，f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)都成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数．
②当Δ＞0，即a＜－22或a＞22时，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，只需2x2＋ax＋1≥0对x∈(0，＋∞)都成立．
设h(x)＝2x2＋ax＋1，则h0＝1＞0，－a4＜0，解得a＞0.
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