高中数学必修4平面向量常考题型
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平面向量的实际背景及基本概念
【知识梳理】
1．向量和数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．
2．有向线段
(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作 .
(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c…表示向量，书写时用a→，b→，c→…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如， ， .
4．向量的模及两个特殊向量
(1)向量的长度(模)：
向量 的大小，也就是向量 的长度(或模)，记作| |.
(2)两个特殊向量：
①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．
②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
5．相等向量与共线向量
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定．
(2)平行向量：
平面向量数量积的物理背景及其含义
【知识梳理】
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件 向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义 a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ
记法 a•b＝|a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔a•b＝0.
(2)当a与b同向时，a•b＝|a||b|，
当a与b反向时，a•b＝－|a||b|.
(3)a•a＝|a|2或|a|＝a•a＝a2.
(4)cos θ＝a•b|a||b|.
(5)|a•b|≤|a||b|.
4．向量数量积的运算律
(1)a•b＝b•a(交换律)．
(2)(λa)•b＝λ(a•b)＝a•(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)•c＝a•c＋b•c(分配律)．
【常考题型】
题型一、向量数量积的运算
【例1】(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a•b; ②(a＋b)•(a－2b)．
(2)设正三角形ABC的边长为2， ＝c， ＝a， ＝b，求a•b＋b•c＋c•a.
[解] (1)①由已知得a•b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)•(a－2b)＝a2－a•b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，
∴a•b＋b•c＋c•a＝2×2×cos 120°×3＝－3.
【类题通法】
向量数乘运算及其几何意义
【知识梳理】
1．向量数乘运算
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)λa(a≠0)的方向当λ＞0时，与a方向相同，当λ＜0时，与a方向相反.
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μ a)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，
λ(a－b)＝λa－λb.
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λ a.
4．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【常考题型】
题型一、向量的线性运算
【例1】 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9a＋13b；
(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
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