约2060字 2.4.1向量数量积的物理背景与含义
(一) 教学目标
1. 知识与技能:
(1) 通过物理中的“功”等实例,理解平面向量数量积的含义和物理意义.
(2) 体会平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3) 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
(4) 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.
2. 过程与方法:
(1) 通过物理中的“功”等实例,引出向量数量积的概念.
(2) 运用几何直观引导学生理解定义的实质.
(3) 进一步结合具体例题,加强对数量积性质的运用.
3. 情感、态度与价值观:
有物理背景出发引出数量积的概念,进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质,培养学生的自主探索能力.
(二) 教学重点、难点
教学重点是向量的数量积的定义及性质.
教学难点是对向量数量积定义及性质的理解和应用.
(三) 教学方法
有物理背景出发,介绍数量积的概念,教学中采用提出问题,引导学生通过观察、类比的方式,探索数量积的性质,进而结合例题运用性质加强理解.
(四) 教学过程
教学
环节 教学内容 师生互动 设计意图
复
习
提
问 (1)向量的概念.
(2)向量的加减法和数乘运算.
提问引入:
我们已经学过平面向量的加减法和数乘运算,那么自然会想到两个向量能否进行乘法运算呢?
学生回答
复习旧知识
引出新知识
概
念
形
成 1.向量数量乘积的物理背景
问题:如果一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功w等于多少? 教师提问
学生回答
教师给出向量的数量积的概念. 以物理问题为背景,使学生从中受到启发,为引入向量的数量积的概念做准备.
2.两个向量的夹角
已知两个非零向量a、b, =a, = b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,
记作〈a ,b〉
并规定0≤〈a ,b〉≤ 强调:
(1)求两向量的夹角,应保证两个向量有公共起点,若没有,须平移.
(2)范围0≤〈a ,b〉≤ .
(3)〈a ,b〉=〈b ,a〉
(4)〈a ,b〉=0时, a、b同向
〈a ,b〉= 时,a、b反向
〈a ,b〉= 时, a ⊥b.
(5)规定:零向量与任意向量垂直. 借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解,为学习向量数量积的定义打好基础。
3.向量在轴上的正射影
(1)概念:
已知向量a和轴l,作 =a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量 叫做向量a在轴l上的正射影.
(2)正射影的数量:
正射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作: al
向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ,
则有
a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量,不是向量.
当q为锐角时为正值;
当q为钝角时为负值;
当q为直角时为0;
当q = 0°时为 |a|;
当q = 180°时为 -|a|.
教师给出正射影的概念
在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。
在学生了解两个概念的基础上,进一步探索发现夹角和正射影数量的关系.
借助多媒体形象地展现正射影的数量,它可正、可负、可为零:
学生在了解向量在轴上的正射影及正射影的数量的基础上,自主探索发现其性质,提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。
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