高中数学必修4三角函数常考题型
高中数学必修4三角函数常考题型：两角和与差的正切公式.doc
高中数学必修4三角函数常考题型：二倍角的正弦、余弦、正切公式.doc
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二倍角的正弦、余弦、正切公式
【知识梳理】
二倍角公式
【常考题型】
题型一、化简求值
【例1】 求下列各式的值：
(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；
(3)2tan 150°1－tan2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°；
(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[解] (1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)
＝cos 60°＝12.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3.
(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°
＝212cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°
＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.
(5)原式＝2sin 20°•cos 20°•cos 40°•cos 80°2sin 20°
＝2sin 40°•cos 40°•cos 80°4sin 20°
＝2sin 80°•cos 80°8sin 20°
＝sin 160°8sin 20°
＝18.
【类题通法】
化简求值的四个方向
三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
【对点训练】
化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；
(2)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.
解：(1)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan θ1＋tan θ＝2tan θ1－tan2θ＝tan 2θ.
两角和与差的正弦、余弦公式
【知识梳理】
1．两角和与差的余弦公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和
的余弦 cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β C(α＋β) α，β∈R
两角差
的余弦 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β C(α－β)
2. 两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的正弦 sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β S(α＋β) α，β∈R
两角差的正弦 sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α－β) α，β∈R
【常考题型】
题型一、给角求值问题
【例1】 (1)cos 20°sin 20°•cos 10°＋3sin 10°tan 70°－2cos 40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.
(1)[解析] 原式＝cos 20°cos 10°sin 20°＋3sin 10°sin 70°cos 70°－2cos 40°
＝cos 20°cos 10°＋3sin 10°cos 20°sin 20°－2cos 40°
＝cos 20°cos 10°＋3sin 10°sin 20°－2cos 40°
＝2cos 20°cos 10°sin 30°＋sin 10°cos 30°sin 20°－2cos 40°
＝2cos 20°sin30°＋10°sin 20°－2cos 40°
＝2cos 20°sin 40°－2sin 20°cos 40°sin 20°
＝2sin40°－20°sin 20°
＝2.
[答案] 2
(2)[解] 法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°
＝sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°
＝sin－50°cos 10°cos 60°•cos 10°sin 50°
＝－2.
法二：原式＝sin 10°cos 10°－3cos 10°sin 50°
＝sin 10°－3cos 10°cos 10°•cos 10°sin 50°
＝212sin 10°－32cos 10°sin 50°
＝2sin10°－60°sin 50°
＝－2.
【类题通法】
解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变用公式．
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