2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题

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共12道小题,约1670字。

  2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题
  年 月 日上午
  一、填空题(每小题 分,共 分)
  、若 的值域为 ,那么 的取值范围是          .答案: .
  解:由值域 , ,
  ,  .
  、四面体 中, 是一个正三角形, , ,
  ,则 到面 的距离为          .答案: .
  解:如图,据题意得, ,
  于是 , ,
  因 ,得 ,从而以
  为顶点的三面角是三直三面角,
  四面体体积 ,而 ,
  若设 到面 的距离为 ,则 ,由 ,
  得到 .
  、若对于所有的正数 ,均有 ,则实数 的最小值是      .答案: .
  解:由 ,得 ,
  当 时取等号.
  、已知 是正方形 内切圆上的一点,记 ,则             .答案: .
  解:如图建立直角坐标系,设圆方程为 ,
  则正方形顶点坐标为 ,
  若点 的坐标为 ,于是直线
  的斜率分别为
  , ,
  所以 ,
  ,
  由此立得 .
  解2:取特例, 在坐标轴上,则 ,
  这时, ,
  、等差数列 与 的公共项(具有相同数值的项)的个数是           .答案: .
  解:将两个数列中的各项都加 ,则问题等价于求等差数列 与等差数列 的公共项个数;前者是 中的全体能被 整除的数,后者是 中的全体能被 整除的数,故公共项是 中的全体能被 整除的数,这种数有 个.
  、设 为锐角,则函数 的最大值是        .答案: .
  解:由 ,

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