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　　数    学
　　F单元　平面向量                                                                          
　　F1　平面向量的概念及其线性运算
　　13．F1[2015•全国卷Ⅱ] 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
　　13.12　[解析] 因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在唯一实数t，使得λa＋b＝t(a＋2b)，所以λ＝t，1＝2t，解得λ＝t＝12.
　　7．F1[2015•全国卷Ⅰ] 设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则(　　)
　　A.AD→＝－13AB→＋43AC→
　　B.AD→＝13AB→－43AC→
　　C.AD→＝43AB→＋13AC→
　　D.AD→＝43AB→－13AC→
　　7．A　[解析] 由题意知AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→.
　　13．F1[2015•北京卷] 在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________．
　　13.12　－16　[解析] 在△ABC中，MN→＝AN→－AM→＝12(AB→＋AC→)－23AC→＝12AB→－16AC→.
　　20．F1、H1、H5、H7、H8[2015•湖南卷] 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26.
　　(1)求C2的方程．
　　(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C， D两点，且AC→与BD→同向．
　　(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
　　(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
　　20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
　　a2－b2＝1.①
　　又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
　　由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，32，所以94a2＋6b2＝1.②
　　联立①②，得a2＝9，b2＝8，
　　故C2的方程为y29＋x28＝1.
　　(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
　　(i)因为AC→与BD→同向，且|AC|＝|BD|，所以AC→＝BD→，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
　　设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
　　由y＝kx＋1，x2＝4y得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
　　由y＝kx＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
　　而x3，x4是这个方程的两根，所以
　　x3＋x4＝－16k9＋8k2，x3x4＝－649＋8k2.⑤
　　将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2（9＋8k2）2＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162×9（k2＋1）（9＋8k2）2，
　　所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.
　　(ii)证明：由x2＝4y得y′＝x2，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝x12(x－x1)，即y＝x1x2－x214.
　　令y＝0，得x＝x12，即Mx12，0，所以FM→＝x12，－1.而FA→＝(x1，y1－1)，于是FA→•FM→＝x212－y1＋1＝x214＋1>0，
　　因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．
　　故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
　　7．F1、F3[2015•四川卷] 设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→•NM→＝(　　)
　　A．20  B．15  C．9  D．6
　　7．C　[解析] 易知AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→，
　　∴AM→•NM→＝14(4AB→＋3AD→)•112(－3AD→＋4AB→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148×(16×36－9×16)＝9.
　　F2　平面向量基本定理及向量坐标运算
　　6．F2[2015•江苏卷] 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
　　6．－3　[解析] 因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3.