2013全国高中数学竞赛广东预赛区试题
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共11道小题,约880字。
2013全国高中数学竞赛广东预赛区
一、填空题(每小题8分,满分64分)
1、已知 ,则 _______.
解:0或
已知两式平方相加,得 或
0或
2、不等式 的解集为_________.
解:
原不等式等价于
设 ,则 在R上单调增.
所以,原不等式等价于
3、已知 ( 表示不超过x的最大整数),设方程 的两个不同实数解为 ,则 __________.
解: .
由于 ,所以
当 时,原方程即 ;
当 时,原方程即 .
4、在平面直角坐标系中,设点 ,一只虫子从原点O出发,沿 轴正方向或 轴正方向爬行(该虫子只能在整点处改变爬行方向),到达终点A的不同路线数目记为 . 则 _______.
解:
猜测 ,可归纳证明.
5、将一只小球放入一个长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5,则这只小球的半径为___________.
解:3或11.
分别以三个面两两的交线为 轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系.
设点P坐标为 ,小球圆心O坐标为
所以,
6、将 表示成两个 型分数的乘积的不同方法数是________.(其中 与 是同一种表示方法)
解:24.
设 是正整数,满足
的正因数的个数为 .
注意到 与 是相同的表示方法,故所求的方法数为 .
7、设E为正方形ABCD边AB的中点,分别在边AD、BC上任取两点P、Q,则∠PEQ为锐角的概率为__________.
解:
设正方形边长为1, .
则
从而, . 又 .
故所求概率为两直线 及曲线 所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比,即
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