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共20道小题，约6720字。

　　2012-2013学年广东省梅州市高二（上）12月月考数学试卷（理科）
　　参考答案与试题解析
　　一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分
　　1．（5分）（2002•北京）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）
　　A．   B．   C．   D． 
　　考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
　　专题： 计算题．
　　分析： 所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．
　　解答： 解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，
　　则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．
　　∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°= ，BE=ABcos60°=1，
　　V1= = ，V2= =π，
　　∴V=V1﹣V2= ，
　　故选A．
　　点评： 本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．
　　2．（5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）
　　A． 平行 B． 相交 C． 异面 D． 以上都有可能
　　考点： 空间中直线与直线之间的位置关系．
　　专题： 分类讨论．
　　分析： 根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．
　　解答： 解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
　　②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
　　故选D
　　点评： 本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
　　3．（5分）（2005•陕西）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（　　）
　　A． 0 B． ﹣8 C． 2 D． 10
　　考点： 斜率的计算公式．
　　专题： 计算题．
　　分析： 因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．
　　解答： 解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，
　　∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，
　　∴ =﹣2，解得  ，
　　故选 B．
　　点评： 本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．
　　4．（5分）（2004•陕西）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1， ）处的切线方程为（　　）
　　A． x+ y﹣2=0 B． x+ y﹣4=0 C． x﹣ y+4=0 D． x﹣ y+2=0
　　考点： 圆的切线方程．
　　专题： 计算题．
　　分析： 本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．
　　解答： 解：法一：
　　x2+y2﹣4x=0
　　y=kx﹣k+ ⇒x2﹣4x+（kx﹣k+ ）2=0．
　　该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k= ．
　　∴y﹣ = （x﹣1），
　　即x﹣ y+2=0．
　　法二：
　　∵点（1， ）在圆x2+y2﹣4x=0上，
　　∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．
　　又∵圆心为（2，0），∴ •k=﹣1．
　　解得k= ，
　　∴切线方程为x﹣ y+2=0．
　　故选D
　　点评： 求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．
　　5．（5分）（2013•广元二模）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）
　　A．   B． 2π C． 3π D． 4π
　　考点： 由三视图求面积、体积．
　　专题： 计算题．
　　分析： 几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的表面积包括三部分，两个圆的面积和一个矩形的面积，写出表示式，得到结果．
　　解答： 解：由三视图知几何体是一个圆柱，
　　圆柱的底面是一个直径为1的圆，
　　圆柱的高是1，
　　∴圆柱的全面积是2×π +2 = ，
　　故选A．
　　点评： 本题考查由三视图求几何体的表面积，考查有三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的条件比较简单，是一个送分题目．
　　6．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（　　）
　　A．  B．  C．   D． 
　　考点： 二面角的平面角及求法．
　　专题： 计算题；空间角．
　　分析： 先作出二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用余弦定理求解即可．
　　解答： 解：由已知可得AD⊥DC
　　又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD
　　在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角
　　∵EF=（三角形ACD的中位线），BE= （正三角形BCD的高），BF= （等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）
　　∴cos∠BEF = =
　　故选C．