约2420字 立体几何中的有关证明与综合问题
　　例1． 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。
　　（1）求证：AC⊥面BB’C’C。
　　（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。
　　讲解：（1）∵  B’D⊥面ABC，AC 面ABC，
　　∴  B’D⊥AC，
　　又AC⊥BC，BC∩B’D=D，
　　∴  AC⊥面BB’C’C。
　　（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。
　　因为B’D⊥面ABC，所以， 就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。
　　由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时 = 。
　　即当α= 时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。
　　例2． 如图：已知四棱锥 中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。
　　（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；
　　（2）求二面角 的平面角的正切值。
　　讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。
　　首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以， ，那么我们自然想到：是否有 ？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。
　　∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，
　　∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。
　　在正方形ABCD中，DC⊥CB，
　　∴ DE⊥CB。
　　又 ， ，
　　∴ DE⊥ 。
　　又 面EDB，
　　∴ 平面EDB⊥平面PBC。
　　（2）由（1）的证明可知：DE⊥ 。所以， 就是二面角 的平面角。
　　∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，
　　又平面ABCD内的直线CB⊥ DC。
　　∴ CB⊥面PDC。
　　又 面PDC，
　　∴ CB⊥PC。
　　在Rt 中， 。
　　点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。
　　例3．如图：在四棱锥 中， ⊥平面 ，∠ ， ， ， 为 的中点。
　　（1）求证： 平面 ；
　　（2）当点 到平面 的距离为多少时，平面 与平面 所成的二面角为 ？
　　讲解：题目中涉及到平面 与平面 所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证 平面 ，应该设法证明CE平行于面 内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。
　　（1）延长BC、AD交于点F。
　　在 中，∠ ，所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，所以， ∽ 。又 ， ，所以，点D、C分别为线段AF、BF的中点。
　　又因为 为 的中点，所以，EC为 的中位线，所以，EC//SF。
　　又 ， ，所以， 平面 。
　　（2）因为： ⊥平面 ，AB 平面 ，所以，AB  。又AB AF， ，所以，AB 面 。
　　过A作AH SF于H，连BH，则BH SF，所以， 就是平面 与平面 所成的二面角的平面角。
　　在Rt 中，要使 = ，需且只需AH=AB= 。
　　此时，在 SAF中， ，所以， 。
　　在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则
　　h= 
　　因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB中点，所以，点E到平面SC