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　　数    学
　　K单元  概率                                             
　　K1　随机事件的概率
　　17．K1、K2、K6[2015•四川卷] 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
　　(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
　　(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
　　17．解：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．
　　参赛学生全部从B中学中抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36＝1100.
　　因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.
　　(2)根据题意得，X的可能取值为1，2，3.
　　P(X＝1)＝C13C33C46＝15，
　　P(X＝2)＝C23C23C46＝35，
　　P(X＝3)＝C33C13C46＝15.
　　所以X的分布列为
　　X 1 2 3
　　P 15
　　35
　　15
　　因此，X的数学期望
　　E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝
　　1×15＋2×35＋3×15＝2.
　　K2　古典概型
　　4．K2[2015•广东卷] 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)
　　A.521  B.1021
　　C.1121  D．1
　　4．B　[解析] 设取的2个球中恰有1个白球，1个红球为事件A，则P(A)＝C110C15C215＝1021.
　　5．K2[2015•江苏卷] 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
　　5.56　[解析] 方法一：以1表示白球，以2表示红球，以3，4表示2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求概率P＝56.
　　方法二：2只球颜色不同的对立事件是2只球颜色相同，有1种情况，故所求概率P＝1－16＝56.
　　16．K2，I2[2015•北京卷] A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
　　A组：10，11，12，13，14，15，16；
　　B组：12，13，15，16，17，14，a.
　　假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
　　(1)求甲的康复时间不少于14天的概率．
　　(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
　　(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
　　16．解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
　　事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1，2，…，7.
　　由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝17，i＝1，2，…，7.
　　(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
　　P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝37.
　　(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，
　　C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
　　因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝1049.
　　(3)a＝11或a＝18.
　　K3　几何概型
　　7．K3[2015•湖北卷] 在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥12”的概率，p2为事件“|x－y|≤12”的概率，p3为事件“xy≤12”的概率，则(　　)
　　A．p1<p2<p3  B．p2<p3<p1
　　C．p3<p1<p2  D．p3<p2<p1
　　7．B　[解析] 在同一平面直角坐标系中，依次作出x＋y＝12，x－y＝12，xy＝12在x∈[0，1]，y∈[0，1]时的图像，如图所示．
　　则p1＝S多边形BACDES四边形OCDE，p2＝S多边形BOAFDGS四边形OCDE，p3＝S曲边多边形GEOCFS四边形OCDE.
　　易知S多边形BOAFDG<S曲边多边形GEOCF<S多边形BACDE，
　　所以S多边形BOAFDGS四边形OCDE<S曲边多边形GEOCFS四边形OCDE<S多边形BACDES四边形OCDE，
　　即p2<p3<p1.故选B.
　　13．B13，K3[2015•福建卷] 如图1­2所示，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
　　图1­2
　　13.512　[解析] 矩形ABCD的面积为4，矩形中空白部分的面积为12x2dx＝13x321＝83－13＝73，故阴影部分面积为4－73＝53，
　　所以所求概率为534＝512.
　　K4  互斥事件有一个发生的概率
　　4．K4[2015•全国卷Ⅰ] 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
　　A．0.648  B．0.432
　　C．0.36  D．0.312
　　4．A　[解析] 记事件M＝{恰好投中2次}，N＝{3次都投中}，E＝{通过测试}，则事件M与N互斥，且E＝M∪N.又P(M)＝C23×(0.6)2×(1－0.6)＝0.432，P(N)＝C33×(0.6)3＝0.216，所以P(E)＝P(M∪N)＝P(M)＋P(N)＝0.648.故选A.
　　18．J2、K2、K6、K4[2015•湖南卷] 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
　　(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
　　(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
　　18．解：(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
　　由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.