高中数学教材中的经典问题与变式：平面向量
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高中数学教材中的经典问题与变式
（3）平面向量
类型1：平面向量的实际背景与基本概念
1．（人教版必修4第P85例2） 如图1，设O是正六边形的中心，分别写出
图中与 、 、 相等的向量。
解：
变式1：如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与 、 共线的向量。
解：与 共线的向量为： ；与 共线的向量为：
类型2：平面向量的线性运算
2.（人教版必修4第86页例4）如图，在平行四边形ABCD中， a ， b ，你能用a，b表示向量 ， 吗？
解： a+ b a b
变式1：如图，在五边形ABCDE中， a ， b ， c ， d ，试用a ，b ， c ， d表示向量 和 .
解： ( a + b + d )
( d + a + b +c )
变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若， a ， b，则下列各表述是正确的为（ ）
A． B．
C． a + b D． (a + b)
解：D
变式3：已知 =a， =b, =c, =d, 且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A. a+b+c+d=0 B. a－b+c－d=0
C. a+b－c－d=0 D. a－b－c+d=0
解：A
变式4：在四边形ABCD中，若 ，则此四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
解：C
变式5：已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a－b)垂直的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：C
变式6：在四边形ABCD中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
【解析】 ∵ = =－8a－2b=2 ，∴ .∴四边形ABCD为梯形，选C
变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则 等于（ ）
A. ， ∈(0,1) B. ， ∈(0, )
C. ， ∈(0,1) D. ， ∈(0, )
【解析】 由向量的运算法则 = + ，而点P在对角线AC上，所以 与 同向，且| |＜| |,∴ =λ( + ),λ∈(0,1)，故选 A
变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且 = ， = ， = ,则下列各式： ① = － ② = +
③ =－ + ④ + + =
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