2016届高考数学（人教，理）大一轮复习课件+教师讲学案+课时提升练：第四章 平面向量
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第四章 平面向量
第一节 平面向量的基本概念
及线性运算[基础知识深耕]
一、向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
2．几种特殊的向量
特殊向量 定义 备注
零向量 长度为零的向量 零向量记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作a0，与a同方向的单位向量a0＝a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则a＝－b
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
【方法技巧】 向量加减法运算的关键点：
向量加法的三角形法则关键是“首尾连，指向终点”，可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则的关键是“共起点，指向被减向量”．
三、平面向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
【拓展延伸】 巧用系数判共线
OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ∈R)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1；反之也成立．
[基础能力提升]
1．下列说法正确的是( )
A．零向量是没有方向的向量
B．单位向量都相等
C．向量的模一定是正数
D．相反向量是平行向量
【解析】 零向量的方向是任意的，不是没有方向，A错；单位向量模相等，方向不一定相同，B错；零向量的模为0，C错；D正确．
【答案】 D
2．在平行四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，AC→＝c，BD→＝d，则下列等式中不正确的是( )
A．a＋b＝c B．a－b＝d
C．b－a＝d D．c－a＝b
【解析】 如图所示，结合向量加法与减法的三角形法则知，B错误．
【答案】 B
3．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD是( )
A．长方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
【解析】 AB→＋BC→＋CD→＝AD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，∴四边形ABCD是梯形．
【答案】 D
4．已知向量a、b不共线，且ka＋b与a＋kb共线，则实数k＝________.
【解析】 由题意知ka＋b＝λ(a＋kb)课时提升练(二十六)
平面向量的数量积与平面向量应用举例
一、选择题
1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB→＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n•AC→＝2，则n•BC→等于( )
A．－2 B．2 C．0 D．2或－2
【解析】 n•BC→＝n•(BA→＋AC→)＝n•BA→＋n•AC→＝(－1,1)•(－1，－1)＋2＝2.
【答案】 B
2．(2014•四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【解析】 因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．根据题意可得c•a|c||a|＝c•b|c||b|，所以5m＋85＝8m＋2020，解得m＝2.
【答案】 D
3．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且向量a，b不共线，则下列说法不正确的是( )
A．|a|＝|b|＝1
B．(a＋b)⊥(a－b)
C．a与b的夹角等于α－β
D．a与b在a＋b方向上的投影相等
【解析】 ∵α、β是任意角，可取α＝π3，β＝－π，则α－β＝4π3，因为向量夹角的范围是[0，π]，故C不正确；可以验证．A、B、D均正确．
【答案】 C
4．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a•(b＋c)＝( )
A.45 B.35 C ．－45 D．－35
【解析】 由题意，|3a|＝3，|4b|＝4，|5c|＝5，又∵3a＋4b＋5c＝0，故向量3a,4b,5c首尾相接构成直角三角形(如图)，
故a•b＝0，∴a•(b＋c)＝a•b＋a•c
＝|a||c|cos〈a，c〉＝cos〈a，c〉＝－35.
【答案】 D
5．(2014•课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a•b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【解析】 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a•b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a•b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a•b＝4，∴a•b＝1.
【答案】 A
6．(2013•湖南高考)已知a，b是单位向量，a•b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.2－1 B.2 C.2＋1 D.2＋2
【解析】 ∵a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.
又a•b＝0，∴a⊥b，∴|a＋b|＝2.
∴|c－a－b|2＝c2－2c•(a＋b)＋2a•b＋a2＋b2＝1.
∴c2－2c•(a＋b)＋1＝0.∴2c•(a＋b)＝c2＋1.
∴c2＋1＝2|c||a＋b|cos θ(θ是c与a＋b的夹角)．
∴c2＋1＝22|c|cos θ≤22|c|.∴c2－22|c|＋1≤0.
∴2－1≤|c|≤2＋1.∴|c|的最大值为2＋1.
【答案】 C
二、填空题
7．(2014•湖北高考)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
【解析】 由题意得，(a＋λb)•(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.
【答案】 ±3
8．(2014•山东高考)在△ABC中，已知AB→•AC→＝tan A，当A＝π6时，△ABC的面积为________．
【解析】 已知A＝π6，由题意得|AB→||AC→|cosπ6＝tanπ6，|AB→||AC→|＝23，所以△ABC的面积S＝12|AB→|•|AC→|sinπ6＝12×23×12＝16.
【答案】 16
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