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共22道小题，约7050字。

　　2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷解析）
　　数  学（理工类）
　　本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
　　★祝考试顺利★
　　注意事项：
　　1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
　　2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。【
　　3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
　　4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
　　一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
　　1．[2014•湖北卷] i为虚数单位，1－i1＋i2＝(　　)
　　A．－1  B．1  C．－i  D．i
　　1．A　[解析] 1－i1＋i2＝－2i2i＝－1.故选A.
　　2．[2014•湖北卷] 若二项式2x＋ax7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝(　　)
　　A．2  B.54  C．1  D.24
　　2．C　[解析] 展开式中含1x3的项是T6＝C57(2x)2ax5＝C5722a5x－3，故含1x3的项的系数是C5722a5＝84，解得a＝1.故选C.
　　3． [2014•湖北卷] U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)
　　A．充分而不必要条件 
　　B．必要而不充分条件
　　C．充要条件 
　　D．既不充分也不必要条件
　　3．C　[解析] 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁UC，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.
　　4．[2014•湖北卷] 根据如下样本数据：
　　x 3 4 5 6 7 8
　　y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
　　得到的回归方程为y︿＝bx＋a，则(　　)
　　A．a>0，b>0  B．a>0，b<0 
　　C．a<0，b>0  D．a<0，b<0
　　4．B　[解析] 作出散点图如下：
　　观察图象可知，回归直线y︿＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0.故a>0，b<0.故选B.
　　5．[2014•湖北卷] 在如图1­1所示的空间直角坐标系O ­ xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)【
　　图1­1
　　A．①和②  B．①和③  C．③和②  D．④和②
　　5．D　[解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.
　　6．[2014•湖北卷] 若函数f(x)，g(x)满足－11f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：
　　①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
　　其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是(　　)
　　A．0  B．1  C．2  D．3
　　6．C　[解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足－11f(x)g(x)dx＝0.
　　①－11f(x)g(x)dx＝－11sin12xcos12xdx＝
　　12－11sinxdx＝－12cos x1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；
　　②－11f(x)g(x)dx＝－11(x＋1)(x－1)dx＝x33－x1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；
　　③－11f(x)g(x)dx＝－11x•x2dx＝x441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．
　　综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C.
　　7．[2014•湖北卷] 由不等式组x≤0，y≥0，y－x－2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x＋y≤1，x＋y≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)
　　A.18  B.14  C.34  D.78
　　7．D　[解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，
　　SΩ1＝S△AOB＝1222＝2，S△BCE＝12112＝14，则S四边形AOEC＝SΩ1－S△BCE＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P＝S四边形AOECSΩ1＝742＝78.故选D.【
　　8．[2014•湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)
　　A.227  B.258  C.15750  D.355113
　　8．B　[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得136L2h≈13Sh，代入S＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V＝275L2h，则π≈258.故选B.
　　9．、[2014•湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
　　A.433  B.233  C．3  D．2
　　9．A　[解析] 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a21＝r21＋r22＋2r1r2，4a22＝r21－2r1r2＋r22.又由余弦定理得4c2＝r21＋r22－r1r2，消去r1r2，得a21＋3a22＝4c2，
　　即1e21＋3e22＝4.所以由柯西不等式得1e1＋1e22＝1e1＋13×3e22≤1e21＋3e221＋13＝163.