初中九年级上册数学第一单元导学案
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约12500字。
§1.1等腰三角形的性质和判定(1)
【知识回顾】
1、什么叫做等腰三角形? 答:有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质? 答: ①等腰三角形的两个底角相等。
② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
3、上述性质你是怎么得到的?你能否用从基本事实出发,对它们进行证明?
【新课导入】
求证:等腰三角形的两个底角相等。
题目:已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B=∠C.
考虑思路:要想证明∠B=∠C,只要证△ABD≌△ACD,
只需有AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD.
解题方法:证明:作∠BAC的平分线AD.
在△ABD 和△ACD 中,
AB=AC(已知),
∠BAD=∠CAD(辅助线画法),
AD=AD(公共边),
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等) .
定理:等腰三角形的两个底角相等. (简称“等边对等角”)
定理:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
逆命题: 如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
题目:已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.
解题方法:证明:作∠BAC的平分线AD.
在△ABD和△ACD中,
AB =AC(已知),
∠BAD =∠CAD(辅助线画法),
AD =AD(公共边),
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴AB =AC(全等三角形的对应边相等).
定理:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”)
【例题讲解】
○例1题目:已知:如图∠EAC是△ABC的外角,AD平分∠EAC,且AD∥BC. 求证:AB=AC.
考虑思路:要想证明AB =AC,只需证∠B=∠C.已知∠EAD=∠DAC,只需证∠EAD =∠B,
∠DAC =∠C.
证明:∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,
∠DAC=∠C.
∵∠EAD =∠DAC,
∴∠B=∠C.
∴ AB=AC (等角对等边).
(拓展提升)
题目:在上图中,如果AB=AC,AD∥BC,那么AD平分
∠EAC吗?为什么?
解题方法:证明:∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C.∵AB=AC, ∴∠B=∠C.
∴∠EAD=∠DAC. 即 AD平分∠EAC.
○例2题目:证明:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
已知:如图,PA=PB
求证:P在AB的垂直平分线上
证明:过P点作MN⊥AB,垂足为C
∵PA=PB(已知)
∴AC=BC(等腰三角形的“三线合一”)
∴ MN是AB的垂直平分线
∴P在AB的垂直平分线上
【巩固练习】
1、题目:证明:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
考虑思路:根据垂直平分线的性质得出的性质得出△ADB≌△ADC,进而求出即可.
解题方法: 证明:∵AD⊥BC,DB=CD.
∴AD=AD,∠ADB=∠ADC,BD=DC,
∴△ADB≌△ADC,
∴AB=AC.
2、题目:如图,BO平分∠CBA, CO平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周长。
考虑思路:根据BO平分∠CBA,CO平分∠ABC,且MN∥BC,可得出MO=MC,NO=NB,所以三角形AMN的周长是AB+AC.
解题方法:解:∵BO平分∠CBA,CO平分∠ACB,
∴∠NBO=∠OBC,∠OCM=∠OCB,
∵MN∥BC,∴∠NOB=∠OBC,∠MOC=∠OCB,
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