约1850字 2.1随机变量及其概率分布(1)
教学目标
(1)在对具体问题的分析中,了解随机变量、离散型随机变量的意义,理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念;
(2)会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布,认识概率分布对于刻画随机现象的重要性;
(3)感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律,培养辨证唯物主义世界观.
教学重点,难点
(1)理解取有限值的随机变量及其分布列的概念;
(2)初步掌握求解简单随机变量的概率分布.
教学过程
一.问题情境
在一块地里种下10棵树苗,成活的树苗棵数 是 0,1,…,10中的某个数;
抛掷一颗骰子,向上的点数 是1,2,3,4,5,6中的某一个数;
新生婴儿的性别,抽查的结果可能是男,也可能是女.如果将男婴用0表示,女婴用1表示,那么抽查的结果 是0和1中的某个数;
……
上述现象有哪些共同特点?
二.学生活动
上述现象中的 , , ,实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数,即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个映射.
例如,上面的植树问题中成活的树苗棵数 : ,表示成活0棵; ,表示成活1棵;……
三.建构数学
1.随机变量:
一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.通常用大写拉丁字母 , , (或小写希腊字母 , , )等表示,而用小写拉丁字母 , , (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.
如:上面新生婴儿的性别 是一个随机变量, ,表示新生婴儿是男婴; ,表示新生婴儿是女婴.
例1.(1)掷一枚质地均匀的硬币一次,用 表示掷得正面的次数,则随机变量 的可能取值有哪些?
(2)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的五只白鼠,从中任取一只,记取到的白鼠的标号为 ,则随机变量 的可能取值有哪些?
解 (1)抛掷硬币是随机试验,结果有两种可能,一种是正面向上,另一种是反面向上,所以变量 的取值可能是1(正面向上),也可能是0(反面向上),故随机变量 的取值构成集合{0,1}.
(2)根据条件可知,随机变量 的可能值有4种,它的取值集合是{1,2,3,4}.
说明:(1)引入了随机变量后,随机事件就可以用随机变量来表示.
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(2) 在例1(1)中,随机事件“掷一枚硬币,正面向上”可以用随机变量表示为 ,随机事件“掷一枚硬币,反面向上”可以用随机变量表示为 .
(3) 在例1(2)中,也可用 , , , 分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件.另一方面,在例1(2)中,可以用 这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情,也就是说,复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示.
这样,我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了.如例1(1)中 的概率可以表示为 ,其中 常简记为 .同理, .这一结果可用表2-1-1来描述.
0 1
例1(2)中随机变量 所表示的随机事件发生的概率也可用表2-1-2来描述.
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上面的两个表格分别给出了随机变量 , 表示的随机事件的概率,描述了随机变量的分布规律.
2.随机变量的概率分布:
一般地,假定随机变量 有 个不同的取值,它们分别是 , ,…, ,且 , ,① 则称①为随机变量 的概率分布列,简称为 的分布列.也可以将①用表2-1-3的形式来表示.
…
…
我们将表2-1-3称为随机变量 的概率分布表.它和①都叫做随机变量 的概率分布.
3.随机变量分布列的性质:
(1) ; (2) .
四.数学运用
1.例题:
例2.从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用 表示“取到的白球个数”,即 求随机变量 的概率分布.
解 由题意知 , ,故随机变量 的概率分布列为 , ,概率分布表如下.
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说明:1.本题中,随机变量 只取两个可能值0和1.像这样的例子还有很多,如在射击中,只考虑“命中”与“不命中”;对产品进行检验时,只关心“合格”与“不合格”等.我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布,并记为 ~0-1分布或 ~两点分布.此处“~”表示“服从”.
2.求随机变量 的分布列的步骤:
(1)确定 的可能取值 ;(2)求出相应的概率 ;(3)列成表格的形式。
例3 若随机变量 的分布列为:试求出常数 .
0 1
解:
由随机变量分布列的性质可知: ,解得 。
变式:设随机变量 的分布列为 ,求实数 的
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