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约9040字。

　　第2讲　数列求和及综合应用
　　高考定位　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.
　　真 题 感 悟
　　1.(2017•全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
　　(1)求{an}的通项公式；
　　(2)求数列an2n＋1的前n项和.
　　解　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
　　故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②
　　①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1，
　　又n＝1时，a1＝2适合上式，
　　从而{an}的通项公式为an＝22n－1.
　　(2)记an2n＋1的前n项和为Sn，
　　由(1)知an2n＋1＝2（2n－1）（2n＋1）＝12n－1－12n＋1，
　　则Sn＝1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1
　　＝1－12n＋1＝2n2n＋1.
　　2.(2017•山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.
　　(1)求数列{an}的通项公式；
　　(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列bnan的前n项和Tn.
　　解　(1)设{an}的公比为q，
　　由题意知a1（1＋q）＝6，a21q＝a1q2，
　　又an>0，
　　解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.
　　(2)由题意知：S2n＋1＝（2n＋1）（b1＋b2n＋1）2＝(2n＋1)bn＋1，
　　又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，
　　所以bn＝2n＋1.
　　令cn＝bnan，则cn＝2n＋12n，
　　因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn
　　＝32＋522＋723＋…＋2n－12n－1＋2n＋12n，
　　又12Tn＝322＋523＋724＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，
　　两式相减得12Tn＝32＋12＋122＋…＋12n－1－2n＋12n＋1，
　　所以Tn＝5－2n＋52n.
　　考 点 整 合
　　1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系，an＝S1　　（n＝1），Sn－Sn－1  （n≥2）.
　　(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误.
　　2.数列求和
　　(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.
　　(2)错位相减法：主要用于求数列{an•bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
　　(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如canan＋1(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.