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　　第四章　圆与方程 
　　求圆的方程
　　求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
　　第一步：选择圆的方程的某一形式；
　　第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
　　第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；
　　第四步：代入圆的方程．
　　注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．
　　已知圆的半径为10，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为42，求圆的方程．
　　【思路点拨】　解题流程可为：
　　设出圆方程→确定待定系数→根据半径、圆心、弦长的已知条件列方程→求出圆心坐标→写出圆方程
　　【规范解答】　法一　设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.
　　因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.①
　　由方程组x－y＝0，x－a2＋y－b2＝10，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，
　　所以x1＋x2＝a＋b，x1•x2＝a2＋b2－102.
　　由弦长公式得2•a＋b2－2a2＋b2－10＝42，化简得(a－b)2＝4.②
　　解①②组成的方程组，得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
　　故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
　　法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，则圆心为(a，b)，半径r＝10，
　　圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝|a－b|2.
　　由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2＋4222＝r2，
　　即a－b22＋8＝10，所以(a－b)2＝4.
　　又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
　　故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
　　求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．
　　【解】　法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
　　则有b＝－4a，3－a2＋－2－b2＝r2，|a＋b－1|2＝r.解得a＝1，b＝－4，r＝22.
　　故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
　　法二 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1,－4)．
　　故半径r＝3－12＋[－2－－4]2＝22，于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
　　直线与圆、圆与圆的位置关系
　　直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．
　　直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：