高中数学必修2立体几何常考题型
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空间几何体的直观图
【知识梳理】
1．用斜二测画法画平面图形的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴
相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
【常考题型】
题型一、水平放置的平面图形的直观图
【例1】 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
平面
【知识梳理】
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4．平面的基本性质
公理 内容 图形 符号
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
【常考题型】
题型一、文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例1】 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
直线与平面、平面与平面垂直的性质(复习课)
【常考题型】
题型一、线面、面面垂直的综合问题
【例1】 如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.
[证明] 如图，过点B作直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ.
因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.
因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c.①
因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c.②
由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.
【类题通法】
判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系．
【对点训练】
1.如图所示：平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB.
求证：a⊥β.
证明：∵a∥α，过a作平面γ交α于a′，则a∥a′
∵a⊥AB，
∴a′⊥AB.
∵α⊥β，α∩β＝AB，
∴a′⊥β，
∴a⊥β.
题型二、求点到面的距离
【例2】 已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝2，又已知S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝5，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．
柱体、锥体、台体的表面积和体积
【知识梳理】
1．几种几何体的表面积公式
图形 表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
旋转体 圆柱
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)
锥体的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)
台体的体积公式V＝13(S′＋S′S＋S)h
【常考题型】
题型一、柱、锥、台的表面积
【例1】 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
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