高一数学专题1:初步认识空间几何体
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专题1、初步认识空间几何体(柱、锥、台、球)
一、空间几何体:如果我们只考虑物体的形状和大小,而不考虑其它因素,那么由这些物体
抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
二、多面体:若干个平面多边形围成的几何体
面----围成多面体的各个多边形
棱----相邻两个面的公共边
顶点-----棱与棱的公共点
1、棱柱
(1)棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个面的公共边
都相互平行,由这些面所围成的几何体叫棱柱。
两个互相平行的面叫做棱柱的底面;其余各面叫棱柱侧面,两个面的公
共边叫做棱柱的棱,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。棱柱两底面之
间的距离叫做棱柱的高,底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
(2)棱柱的性质:侧棱都平行且相等,侧面都是平行四边形;
两个底面与平行于底面的截面是平行且相等的多边形;
过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形。
(3)棱柱的判定条件:①上下两个底面互相平行且相等的多边形;②侧面为平行四边形。
(4)棱柱的分类:①按侧棱与底面的位置关系分类
斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱;
直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
②按底面多边形分类:
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别
叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……四棱柱、五棱柱……
(5)特殊的四棱柱:
平行六面体:底面是平行四边形的棱柱;
长方体:底面是长方形(矩形)的直棱柱;
正方体:底面是正方形的直棱柱。
正、直棱柱与棱柱的关系:
(6)几种四棱柱(六面体)的关系:
四棱柱 平行六面体 直平行六边形
长方体 正四棱柱 正方体
(7)棱柱的表示方法:棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或用一条对角线端点的两个字
母来表示。
【例1】在棱柱中( )
A.只有两个面平行 B.所有的棱都相等
C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,并且各侧棱也平行
【变式1】观察下面的几何体,哪些是棱柱?
【变式2】一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A.底面是正方形有两个侧面是矩形
B.底面是正方形,两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形且有个顶点处的两条棱互相垂直
D.底面是正方形,每个侧面都是全等矩形的四棱柱
【变式3】设有三个命题甲:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;乙:底面是矩形的
平行六面体是长方体;丙:直四棱柱是直平行六面体;以上命题中,真命题的个
数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.棱锥
(1)棱锥的定义:有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些
面围成的几何体叫做棱锥。
有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱
锥的顶点,相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,多边形叫做棱锥的底
面,顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
(2)棱锥的性质:①侧棱交于顶点,侧面都是三角形;②平行于底面的截面与底面是相似
多边形,且其面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥高的比的平方。
(3)棱锥的判定条件:①侧棱都交于一点;②侧面都是三角形。
(4)棱锥的分类:按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等,其中三棱锥又叫
四面体!
(5)特殊的棱锥:
正棱锥:①定义:棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心与底面垂直的直
线上,则这个棱锥叫做正棱锥!
②性质:各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三
角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。
正四面体:每一个面都是正三角形的三棱锥。
正四面体、正棱锥、棱锥之间的关系:
(6)棱锥的记法:用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥。
【例2】已知正四棱锥P-ABCD的底面积为36,一条侧棱长为5,计算它的高和斜高?
【变式1】已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为16,一条侧棱长为 ,计算它的高和斜
高。
解:设VO为正四棱锥V-ABCD的高,作OM⊥BC于点M,则M为BC中点,
连接OM、OB,则VO⊥OM,VO⊥OB.因为底面正方形ABCD的面积是16,所以BC=4,MB=OM=2,
又因为VB= ,在Rt△VOB中,由勾股定理得: ,在Rt△VOM中,由勾股定理得 , 即正四棱锥的高为6,斜高为 .
(变1图)
【变式2】能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( )
A.底面为正多边形 B.各侧棱都相等
C.各侧面与底面都是全等的正三角形 D.各侧面都是等腰三角形
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