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　　数    学
　　E单元　不等式                                          
　　E1　不等式的概念与性质
　　12．A2、E1[2015•福建卷] “对任意x∈0，π2，ksin xcos x<x”是“k<1”的(　　)
　　A．充分而不必要条件
　　B．必要而不充分条件
　　C．充分必要条件
　　D．既不充分也不必要条件
　　6．E1，M2[2015•浙江卷] 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)
　　A．ax＋by＋cz  B．az＋by＋cx
　　C．ay＋bz＋cx  D．ay＋bx＋cz
　　6．B　[解析] (ax＋by＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(a－c)(x－z)>0.故选项A中的不是最低费用；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故选项C中的不是最低费用；(ay＋bx＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，选项D中的不是最低费用．
　　综上所述，选项B中的为最低费用．
　　E2  绝对值不等式的解法
　　21．E2，B3，B12[2015•广东卷] 设a为实数，函数f(x)＝(x－a)2＋|x－a|－a(a－1)．
　　(1)若f(0)≤1，求a的取值范围；
　　(2)讨论f(x)的单调性；
　　(3)当a≥2时，讨论f(x)＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．
　　4．A2、E2[2015•天津卷] 设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的(　　)
　　A．充分而不必要条件 
　　B．必要而不充分条件
　　C．充要条件 
　　D．既不充分也不必要条件
　　4．A　[解析] 由|x－2|<1，解得1<x<3.若1<x<2，则1<x<3，反之不成立，所以“1<x<2”是“|x－2|<1”成立的充分不必要条件．
　　E3　一元二次不等式的解法
　　7．E3[2015•江苏卷] 不等式2x2－x<4的解集为________．
　　7．{x|－1<x<2}(或(－1，2))　[解析] 因为2x2－x<4＝22，所以x2－x<2，解得－1<x<2，故不等式的解集为(－1，2)．
　　15．K3、E3[2015•重庆卷] 在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
　　15.23　[解析] 由题意，得Δ＝4p2－4（3p－2）≥0，x1＋x2＝－2p<0，x1x2＝3p－2>0，解得23<p≤1或2≤p≤5，所以所求概率P＝1－23＋（5－2）5＝23.
　　19．E3、B11、B12[2015•重庆卷] 已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．
　　(1)确定a的值；
　　(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．
　　19．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x.
　　因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′－43＝0，
　　即3a•169＋2×－43＝16a3－83＝0，解得a＝12.
　　(2)由(1)得g(x)＝12x3＋x2ex，
　　故g′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex＝
　　12x3＋52x2＋2xex＝12x(x＋1)(x＋4)ex.
　　令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.
　　当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
　　当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；
　　当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；
　　当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．
　　综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数．
　　11．E3[2015•广东卷] 不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
　　11．(－4，1)　[解析] 由－x2－3x＋4>0得－4<x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4，1)．
　　E4  简单的一元高次不等式的解法
　　E5　简单的线性规划问题
　　15．E5[2015•全国卷Ⅰ] 若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y＋1≤0，2x－y＋2≥0，则z＝3x＋y的最大值为________．
　　15．4　[解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A(1，1)时，目标函数z取得最大值，故zmax＝3×1＋1＝4.