2016高考二轮数学（理）专题复习检测：压轴题冲关系列（共3份）
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2016高考二轮数学（理）专题复习检测：压轴题冲关系列（3份）
压轴题冲关系列1.doc
压轴题冲关系列2.doc
压轴题冲关系列3.doc
压轴题冲关系列(一)
(时间：45分钟 分数：60分)
1．(15分)(2015•辽宁沈阳一模)已知函数f(x)＝aln x(a＞0)，e为自然对数的底数．
(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；
(2)当x＞0时，求证：f(x)≥a1－1x；
(3)若在区间(1，e)上fxx－1＞1恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝aln x的导函数f′(x)＝ax，
∵过点A(2，f(2))的切线斜率为2，
∴f′(2)＝a2＝2，解得a＝4.
(2)证明：令g(x)＝f(x)－a1－1x
＝aln x－1＋1x，
则函数的导数g′(x)＝a1x－1x2.
令g′(x)＞0，即a1x－1x2＞0，解得x＞1，
∴g(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增．
∴g(x)最小值为g(1)＝0，
故f(x)≥a1－1x成立．
(3)令h(x)＝aln x＋1－x，则h′(x)＝ax－1，
令h′(x)＞0，解得x＜a.
当a＞e时，h(x)在(1，e)是增函数，所以h(x)＞h(1)＝0.
当1＜a≤e时，h(x)在(1，a)上递增，(a，e)上递减，
∴只需h(e)≥0，即a≥e－1.
当a≤1时，h(x)在(1，e)上递减，则需h(e)≥0，
∵h(e)＝a＋1－e＜0不合题意．
综上，a≥e－1.
2．(14分)(2015•山东潍坊一模)已知点M是圆心为C1的圆(x－1)2＋y2＝8上的动点，点C2(1,0)，若线段MC2的中垂线交MC1于点N.
(1)求动点N的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋t是圆x2＋y2＝1的切线且l与点N轨迹交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，若OP→•OQ→＝μ且23≤u≤45，求△OPQ面积的取值范围．
解：(1)由题意知，动点N的轨迹是以C1，C2为焦点，以22为长轴长的椭圆，a＝2，c＝1，b2＝1，
压轴题冲关系列(三)
(时间：45分钟 分数：60分)
1．(14分)(2015•贵州七校联考)已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C1的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为77|OB|.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)若椭圆C1方程为：x2m2＋y2n2＝1(m＞n＞0)，椭圆C2方程为：x2m2＋y2n2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C1的3倍相似椭圆，若直线y＝kx＋b与两椭圆C1，C2交于四点(依次为P，Q，R，S)，且XC→＋RS→＝2QS→，试求动点E(k，b)的轨迹方程．
解：(1)设椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，a＞b＞0，
∴直线AB的方程为x－a＋yb＝1，
∴F1(－1,0)到直线AB的距离为d＝|b－ab|a2＋b2＝77b，
∴a2＋b2＝7(a－1)2，
又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝3，
∴椭圆C1的方程为x24＋y23＝1.
(2)椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为x212＋y29＝1，
设Q，R，P，S各点坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，
将y＝kx＋b代入椭圆C1方程，得
(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，
∴Δ1＝(8kb)2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝48(4k2＋3－b2)＞0，(*)
此时，x1＋x2＝－8kb3＋4k2，x1x2＝4b2－123＋4k2，
∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2
＝434k2＋3－b23＋4k2，
将y＝kx＋b代入椭圆C2的方程，得
(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－36＝0，
∴x3＋x4＝－8kb3＋4k2，x3x4＝4b2－363＋4k2，
|x3－x4|＝4312k2＋9－b23＋4k2，
∴x1＋x2＝x3＋x4，
∴线段XC，QR中点相同，∴|PQ|＝|RS|，
由XC→＋RS→＝2QS→，PQ→＝QR→，
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